¿Cuál es el problema matemático del milenio, más difícil de comprobar?

La hipótesis de Riemann parece ser la conjetura más difícil de comprobar. Ya han pasado 160 años desde su publicación por Bernhard Riemann, y los expertos piensan que no se está ni remotamente cerca de su demostración, a pesar de avances significativos en el entendimiento del aparato matemático subyacente.

Hay algo profundo que todavía no entendemos sobre la distribución de los números primos (p) y su íntima relación con la función zeta,

ζ(s)=∑∞n=11ns=1+12s+13s+⋯,ζ(s)=∑n=1∞1ns=1+12s+13s+⋯,

extendida al plano complejo.

Esa unión misteriosa está dada por el producto de Euler (Re(s)>1),Re(s)>1),

∑∞n=11ns=∏p(1−1ps)−1⋅∑n=1∞1ns=∏p(1−1ps)−1⋅

De esta fórmula Riemann dedujo la mejor aproximacion posible para contar primos, si la conjetura es cierta. Esa relación depende de la ubicación de los ceros no triviales de dicha función, aquellos que están en la banda crítica. De hecho, la hipótesis afirma que esos ceros complejos están todos sobre una línea crítica en esa banda, y tienen parte real igual a 1/2.

La función zeta obedece una ecuación funcional, que es la continuación analítica al plano entero, excepto s=1,

ζ(s)=2sπs−1sinsπ2Γ(1−s)ζ(1−s),ζ(s)=2sπs−1sinsπ2Γ(1−s)ζ(1−s),

donde el factor

Γ(x)=∫∞0tx−1e−tdt,Γ(x)=∫0∞tx−1e−tdt,

es la famosa función gamma de Euler.

A partir de esta asombrosa fórmula, una dualidad realmente, no solo se pueden calcular los ceros triviales (-2,-4,-6,…), y valores negativos en términos de valores positivos, también se deduce la importancia de la línea crítica como un eje con propiedades especiales para la distribución de los ceros no triviales. Ella nos dice que están ubicados simétricamente alrededor de la línea crítica y del eje real.

El poder de esta dualidad puede verse de forma inmediata. Si s=1/2 (línea crítica), necesariamente

2sπs−1sinsπ2Γ(1−s)=1,2sπs−1sinsπ2Γ(1−s)=1,

sin tener que hacer ningún cálculo. Y efectivamente, puede demostrarse fácilmente este resultado. Podemos afirmar, haciendo uso del lenguaje de las d-branas en teoría de cuerdas que, para s=1/2, la ecuación funcional es autodual.

Se han descubierto trillones de ceros sobre la línea crítica. Pero esto no nos acerca a la veracidad de la conjetura, pues podemos pensar que sólo se trata de la demostración "experimental" de un viejo y famoso teorema de Hardy: hay un número infinito de ceros sobre la línea crítica. ¡También puede haber un número infinito fuera de ella!

Lo que la ecuación funcional nos dice llama mucho la atención. ¿Por qué está expresión nos habla de las propiedades de ceros fuera de la línea crítica, pero la conjetura nos dice que solo existen sobre el eje? Si la conjetura es cierta, hay algo que intriga en esta increíble relación, pues predice el comportamiento de cosas que no existen: ceros fuera de la línea. Aún así, es una de las herramientas más poderosas en las investigaciones sobre la hipótesis.

Se conocen muchos resultados importantes sobre la función zeta y la conjetura de Riemann.

Por ejemplo, un teorema de Bohr y Landau confirma que si hay ceros fuera de la línea crítica estos están muy cerca de ella, a una distancia infinitesimal. Esta es la técnica antigua de ir descartando zonas libres de ceros.

Por otro lado, existen decenas de afirmaciones matemáticas que son equivalentes a la hipótesis y de comprobarse éstas, automáticamente la de Riemann quedaría demostrada.

Una de las más "sencillas" de enunciar es debida al matemático Jeffrey Lagarias: si

σ(n)≤Hn+eHnlogHn,σ(n)≤Hn+eHnlogHn,

donde

σ(n)σ(n)

es la suma de los divisores del número abundante positivo n, y

Hn=∑ni=11iHn=∑i=1n1i

es la suma armónica, entonces la conjetura de Riemann es cierta. Pero ese número no se ha hallado, al parecer es colosal.

Poco se ha avanzado por estos caminos.

En el 2019, un acercamiento a la hipótesis usando polinomios de Jensen y de Hermite (ubicuos en mecánica cuántica) abrió nuevas perspectivas. Pero a más de un año de este logro, considerado muy importante, ningún avance nuevo se ha alcanzado.

Todo parece terminar en un callejón sin salida.

Grandes matemáticos han probado suerte con esta hipótesis, desde Ramanujan hasta Turing, sin éxito. Otros anuncian demostraciones que resultan ser falsas. Estas se acumulan con el paso del tiempo, mientras la búsqueda de la verdadera parece cada día más desconcertante.