¿Qué significa el término "sea" en matemática? Por ejemplo: "Sea f una función real…" ¿Cuándo se utiliza?

La pregunta es muy elemental, pero es importante conocer la respuesta, por eso es una buena pregunta. Se refiere al vocabulario del lenguaje común que se emplea en los textos matemáticos, o en general, cuando se habla sobre asuntos matemáticos.

En principio, "sea" es el modo imperativo del verbo ser en tercera persona del singular:

MODO IMPERATIVO :

SINGULAR: 1º persona → no existe en castellano (o podría existir formalmente, pero no se emplea jamás, porque no es normal darse órdenes uno mismo…sería algo como sea yo, o beba yo, o gane yo, que sí se usan, pero con valor subjuntivo, no imperativo).

2º persona → sé (tú) / sea (usted)

3º persona → sea él o sea ella.

PLURAL: 1º persona → seamos nosotros o seamos nosotras.

2º persona → sed vosotros, o sed vosotras / sean ustedes

3º persona → sean ellos, o sean ellas.

De modo que cuando en un razonamiento o exposición matemática se quiere representar un concepto por medio de una letra, o varias, o incluso mediante una combinación de signos matemáticos, y se quiere advertir que durante ese razonamiento -únicamente y no después, fuera de esa explicación- se va a representar cierto concepto por medio de esa letra o letras o signos matemáticos cualesquiera, se le impone a esa notación un significado provisional, tan solo mientras dure la demostración o la exposición o la definición, o el enunciado de que se trate.

Se distingue así una hipótesis que no debemos poner en duda, sino darla por cierta, mientras dure el razonamiento o explicación que se expone, y por eso se emplea el modo imperativo:

1. Sea p un número primo. → significa "supongamos" que p representa un número primo, o literalmente, obliguemos a la letra p, durante esta discusión, a representar un número primo. Tal vez, acabando el razonamiento o la demostración, o el enunciado del problema de que se trate, luego empleemos la letra p con otro sentido, y diríamos: sea (ahora) p un número no primo…
2. Sea f:R→R una función real y continua en todo punto. No tendría sentido aquí dudar si f es continua en todo punto, ni tampoco tratar de demostrarlo, lo creemos porque lo suponemos así, lo damos por cierto, es una hipótesis que admitimos; de ahí la palabra "sea", es decir, tomemos todos como verdadero, esto es, supongamos, solo durante esta discusión, que el símbolo f representa una función de R→R y que cumple la hipótesis de ser continua en todo punto.
3. Por tanto, "sea" estaría mal utilizado - y es objeto de chistes matemáticos - si lo empleáramos así: "sea 1 la mitad de 2 ". Porque 1 ES la mitad de 2, no hay que suponerlo…o "sea 7 un número entero impar" (MAL)…¡es que ya lo es! O igualmente, sea z la última letra del abecedario (latino), es que z YA LO ES, no procede "suponerlo". En cambio, vale decir:

Sea z una variable libre cualquiera. Entonces apuntamos en nuestra mente:

DURANTE ESTA EXPLICACIÓN O DEMOSTRACIÓN O ENUNCIADO VAMOS A REPRESENTAR UNA VARIABLE LIBRE CUALQUIERA CON EL SÍMBOLO z.

Y seguimos leyendo, o hablando, o explicando.