¿Cuáles son algunas aplicaciones de la geometría diferencial fuera de las matemáticas o física?
Matemática
Outros
Subida por:
Aprendiendo con Apuntes
1 respuesta(s)
Apuntes Prácticos
Hace más de un mes
Echemos un vistazo a uno de los teoremas más fascinantes de la geometría diferencial, demostrado por Gauss mucho antes de 1825. Es tan interesante y útil que se refirió a él como Teorema Egregium: "Teorema notable".
Antes de entrar en detalles sobre lo que dice el teorema, veamos una aplicación inesperada: la mecánica de las cartas y los magos. Mira este breve video:
Entonces, ¿qué es exactamente este "teorema notable"?
Aquí inicia el concepto matemático.
Vestido con lenguaje matemático, dice: "La curvatura gaussiana de una superficie lisa incrustada en R3R3 es invariante bajo las isometrías locales".
Esa es la versión precisa, pero lo que significa es que no importa cómo distorsione rígidamente una superficie 2D2D o la mueva en el espacio, la curvatura gaussiana en cualquier punto no cambia. Es una propiedad intrínseca de la superficie en sí misma sin tener en cuenta el espacio en el que se encuentra (es este último hecho que Gauss encontró notable).
¿Y qué es exactamente la curvatura gaussiana? Es un número que puede calcular para cualquier punto dado en una superficie.
Para definirlo, tendremos que comenzar con la curvatura en un punto de una curva 1D1D. Este es el inverso multiplicativo del radio del círculo que mejor se aproxima a la curva. Por ejemplo, la curvatura de la curva CC a continuación en el punto PP es 1r1r:
El signo de la curvatura indica si dicho círculo se ubicaría sobre o debajo de la curva; una curva se doblará hacia abajo en un punto de curvatura negativa. (Debería ser algo evidente que la curvatura está relacionada con la segunda derivada de la curva en ese punto. De hecho, en los puntos donde el gradiente de la superficie es pequeño, la curvatura es aproximadamente igual a la segunda derivada).
Ahora, si toma un punto en una superficie 2D2D lisa y corta a lo largo de un plano que incluye el vector normal en ese punto, el corte se cruza con la superficie en una curva 1D1D. Luego puede calcular el tipo de curvatura 1D1D anterior de esa curva en ese punto.
Hay muchos planos que contienen ese vector normal particular en ese punto particular y cada uno de ellos cortará la superficie para formar una curva 1D diferente con una curvatura diferente. Luego elegiremos los dos planos que nos dan la curvatura máxima y mínima, respectivamente. Estas se llaman curvaturas principales:
Y la curvatura gaussiana es solo el producto de estas dos curvaturas.
Por ejemplo, en la imagen de arriba puede ver que en una dirección principal la superficie se curva hacia arriba, mientras que en la otra se curva hacia abajo. Esto significa que la curvatura gaussiana sería el producto de un número positivo y negativo; la curvatura gaussiana sería negativa en este punto. En general, el signo de la curvatura gaussiana depende de cómo la curvatura en estas dos direcciones extremas se compara entre sí: ¿se curvan en la misma dirección o direcciones opuestas?
Es de interés particular para el propósito de las aplicaciones son las superficies desarrollables, o como la mayoría de las personas las llamarían superficies planas. Me refiero a superficies donde la curvatura es cero en todas partes, como el cilindro en la imagen de arriba.
Cualquier forma en la que pueda doblar un trozo de papel es una superficie desarrollable. Cada punto en dicha superficie tiene curvatura cero.
El video en la parte superior de esta respuesta demuestra que las cartas de juego son superficies que se pueden desarrollar. ¿Cómo explica Teorema Egregium los fenómenos vistos en ese video?
En pocas palabras, dado que la curvatura gaussiana en cada punto de la carta de juego debe ser cero (el producto de las curvaturas principales debe ser cero), sabemos que la curvatura máxima o mínima de toda la carta es cero.
En otras palabras, si doblamos los bordes de la tarjeta hacia arriba para que tenga una curvatura positiva en una dirección, la curvatura mínima en cualquier dirección será cero, y habrá una dirección a través de cada punto para el que la curvatura sea cero.
Más sucintamente, si lo doblamos hacia arriba en una dirección, no se doblará hacia abajo en ninguna otra dirección.
Esto explica el fenómeno biestable del engarce rápido: las tarjetas se pueden doblar hacia abajo en los extremos o hacia arriba en los lados, pero nunca ambas.
MÁS APLICACIONES A LAS SUPERFICIES DE CURVATURA CERO
Al igual que con las cartas de juego, Teorema Egregium puede decirnos la forma correcta de sostener un pedazo de pizza para que no se caiga:
También es la razón por la cual el cartón corrugado ...
... y los techos de metal corrugado ...
son tan rígidos en una dirección a pesar de estar hechos de material delgado y flexible.
Además, hay muchas aplicaciones del origami en ingeniería: industrial, estructural, biomédica. Aquí hay un video que profundiza en estas aplicaciones. Tenga en cuenta que estas aplicaciones a menudo obtienen su integridad estructural de una aplicación del teorema egregium en el caso de una superficie de curvatura cero.
Un beneficio intrínseco del origami es que el simple acto de doblar un material puede hacerlo más rígido. —Derek Muller, 2019.
APLICACIONES DE SUPERFICIES DE CURVATURA POSITIVAS
Una esfera es una superficie de curvatura positiva constante: la curvatura gaussiana de una esfera de radio RR es 1R21R2 en cada punto.
Un corolario del teorema egregium, es que no hay nada que pueda hacer para aplanar una esfera en cualquier dirección. Si lo hiciera, entonces la curvatura en algún momento sería cero, pero sabemos que tiene que ser positiva.
Con ello se deduce que no se pueden hacer esferas rígidas de cosas planas o cosas planas de esferas, o cualquier cosa que tenga una curvatura distinta de cero. (Así es como puede estar seguro de que cualquiera que le diga que tiene una (juego de palabras con "flat tire" literal llanta plana) llanta pinchada está mintiendo).
Por lo tanto, si desea que algo tenga una forma redonda, pero quiere hacerlo con un material plano, deberá encontrar una forma de ocultar el material en exceso. Los globos Mylar hacen esto con corrugaciones radiales alrededor de los bordes para aumentar la curvatura efectiva del área visible:
Como puede ver, el globo no es realmente redondo en ningún lado, todavía tiene curvatura cero en todas partes, pero las ondulaciones le permiten parecer redondo.
Pero del mismo modo que tiene que eliminar el material en los bordes para hacer una superficie plana redonda, debe agregar material en los bordes para hacer que las superficies redondas sean planas. Pero probablemente ya conozca uno de los principales efectos de este hecho:
Cada mapa plano de la superficie de la Tierra está distorsionado. No hay forma de dibujar con precisión la superficie de la Tierra sin distorsionarse porque la superficie de la Tierra es una esfera (curvatura positiva) y el mapa es plano (curvatura cero). El proceso de aplanamiento siempre estirará partes de la Tierra (como sucede cerca de los polos en la proyección de Mercator anterior) y también puede introducir grandes espacios, como en esta proyección de homolosina de Goode:
Y, por supuesto, ninguna proyección de la Tierra está más distorsionada que la que esta en la mente de un terraplanista:
(Esto se llama en realidad una proyección equidistante azimutal: vaya, esos continentes se ven tontos).
APLICACIÓN DE SUPERFICIES DE CURVATURA NEGATIVA
La superficie más comúnmente encontrada de (casi) constante curvatura negativa en la vida real son las papas Pringles:
El nombre matemático para esta superficie es un paraboloide hiperbólico.
El beneficio de formar una papa de esta forma (además de ser divertido de comer) es que, a diferencia de las papas fritas planas (naturales), las fuerzas laterales que pondrían el esfuerzo cortante en el medio se resisten porque también deben comprimir el material adicional en Los bordes.
A diferencia de la rebanada de pizza doblada arriba, no se necesita fuerza externa adicional para darle a esta estructura una rigidez adicional. La curvatura negativa lo obliga a mantener esta forma; la única forma en que puede evitar que apunte sus bordes mordibles directamente a su boca es rompiéndolo.
Pero, por supuesto, incluso si lo rompes, las piezas aún no se pueden aplanar sin romperse una vez más. Es por eso que no puedes pisar un chip Pringles y terminar con solo una migaja en la alfombra:
Y así concluye mi pequeño paseo por las aplicaciones de la geometría diferencial en nada de particular importancia. Avísame si algo no tiene sentido.
Fuentess: Theorema Egregium - Wikipedia
Gaussian curvature - Wikipedia
Principal curvature - Wikipedia
Images: Google Images, Buzzfeed, Wired
Echemos un vistazo a uno de los teoremas más fascinantes de la geometría diferencial, demostrado por Gauss mucho antes de 1825. Es tan interesante y útil que se refirió a él como Teorema Egregium: "Teorema notable".
Antes de entrar en detalles sobre lo que dice el teorema, veamos una aplicación inesperada: la mecánica de las cartas y los magos. Mira este breve video:
Entonces, ¿qué es exactamente este "teorema notable"?
Aquí inicia el concepto matemático.
Vestido con lenguaje matemático, dice: "La curvatura gaussiana de una superficie lisa incrustada en R3R3 es invariante bajo las isometrías locales".
Esa es la versión precisa, pero lo que significa es que no importa cómo distorsione rígidamente una superficie 2D2D o la mueva en el espacio, la curvatura gaussiana en cualquier punto no cambia. Es una propiedad intrínseca de la superficie en sí misma sin tener en cuenta el espacio en el que se encuentra (es este último hecho que Gauss encontró notable).
¿Y qué es exactamente la curvatura gaussiana? Es un número que puede calcular para cualquier punto dado en una superficie.
Para definirlo, tendremos que comenzar con la curvatura en un punto de una curva 1D1D. Este es el inverso multiplicativo del radio del círculo que mejor se aproxima a la curva. Por ejemplo, la curvatura de la curva CC a continuación en el punto PP es 1r1r:
El signo de la curvatura indica si dicho círculo se ubicaría sobre o debajo de la curva; una curva se doblará hacia abajo en un punto de curvatura negativa. (Debería ser algo evidente que la curvatura está relacionada con la segunda derivada de la curva en ese punto. De hecho, en los puntos donde el gradiente de la superficie es pequeño, la curvatura es aproximadamente igual a la segunda derivada).
Ahora, si toma un punto en una superficie 2D2D lisa y corta a lo largo de un plano que incluye el vector normal en ese punto, el corte se cruza con la superficie en una curva 1D1D. Luego puede calcular el tipo de curvatura 1D1D anterior de esa curva en ese punto.
Hay muchos planos que contienen ese vector normal particular en ese punto particular y cada uno de ellos cortará la superficie para formar una curva 1D diferente con una curvatura diferente. Luego elegiremos los dos planos que nos dan la curvatura máxima y mínima, respectivamente. Estas se llaman curvaturas principales:
Y la curvatura gaussiana es solo el producto de estas dos curvaturas.
Por ejemplo, en la imagen de arriba puede ver que en una dirección principal la superficie se curva hacia arriba, mientras que en la otra se curva hacia abajo. Esto significa que la curvatura gaussiana sería el producto de un número positivo y negativo; la curvatura gaussiana sería negativa en este punto. En general, el signo de la curvatura gaussiana depende de cómo la curvatura en estas dos direcciones extremas se compara entre sí: ¿se curvan en la misma dirección o direcciones opuestas?
Es de interés particular para el propósito de las aplicaciones son las superficies desarrollables, o como la mayoría de las personas las llamarían superficies planas. Me refiero a superficies donde la curvatura es cero en todas partes, como el cilindro en la imagen de arriba.
Cualquier forma en la que pueda doblar un trozo de papel es una superficie desarrollable. Cada punto en dicha superficie tiene curvatura cero.
El video en la parte superior de esta respuesta demuestra que las cartas de juego son superficies que se pueden desarrollar. ¿Cómo explica Teorema Egregium los fenómenos vistos en ese video?
En pocas palabras, dado que la curvatura gaussiana en cada punto de la carta de juego debe ser cero (el producto de las curvaturas principales debe ser cero), sabemos que la curvatura máxima o mínima de toda la carta es cero.
En otras palabras, si doblamos los bordes de la tarjeta hacia arriba para que tenga una curvatura positiva en una dirección, la curvatura mínima en cualquier dirección será cero, y habrá una dirección a través de cada punto para el que la curvatura sea cero.
Más sucintamente, si lo doblamos hacia arriba en una dirección, no se doblará hacia abajo en ninguna otra dirección.
Esto explica el fenómeno biestable del engarce rápido: las tarjetas se pueden doblar hacia abajo en los extremos o hacia arriba en los lados, pero nunca ambas.
MÁS APLICACIONES A LAS SUPERFICIES DE CURVATURA CERO
Al igual que con las cartas de juego, Teorema Egregium puede decirnos la forma correcta de sostener un pedazo de pizza para que no se caiga:
También es la razón por la cual el cartón corrugado ...
... y los techos de metal corrugado ...
son tan rígidos en una dirección a pesar de estar hechos de material delgado y flexible.
Además, hay muchas aplicaciones del origami en ingeniería: industrial, estructural, biomédica. Aquí hay un video que profundiza en estas aplicaciones. Tenga en cuenta que estas aplicaciones a menudo obtienen su integridad estructural de una aplicación del teorema egregium en el caso de una superficie de curvatura cero.
Un beneficio intrínseco del origami es que el simple acto de doblar un material puede hacerlo más rígido. —Derek Muller, 2019.
APLICACIONES DE SUPERFICIES DE CURVATURA POSITIVAS
Una esfera es una superficie de curvatura positiva constante: la curvatura gaussiana de una esfera de radio RR es 1R21R2 en cada punto.
Un corolario del teorema egregium, es que no hay nada que pueda hacer para aplanar una esfera en cualquier dirección. Si lo hiciera, entonces la curvatura en algún momento sería cero, pero sabemos que tiene que ser positiva.
Con ello se deduce que no se pueden hacer esferas rígidas de cosas planas o cosas planas de esferas, o cualquier cosa que tenga una curvatura distinta de cero. (Así es como puede estar seguro de que cualquiera que le diga que tiene una (juego de palabras con "flat tire" literal llanta plana) llanta pinchada está mintiendo).
Por lo tanto, si desea que algo tenga una forma redonda, pero quiere hacerlo con un material plano, deberá encontrar una forma de ocultar el material en exceso. Los globos Mylar hacen esto con corrugaciones radiales alrededor de los bordes para aumentar la curvatura efectiva del área visible:
Como puede ver, el globo no es realmente redondo en ningún lado, todavía tiene curvatura cero en todas partes, pero las ondulaciones le permiten parecer redondo.
Pero del mismo modo que tiene que eliminar el material en los bordes para hacer una superficie plana redonda, debe agregar material en los bordes para hacer que las superficies redondas sean planas. Pero probablemente ya conozca uno de los principales efectos de este hecho:
Cada mapa plano de la superficie de la Tierra está distorsionado. No hay forma de dibujar con precisión la superficie de la Tierra sin distorsionarse porque la superficie de la Tierra es una esfera (curvatura positiva) y el mapa es plano (curvatura cero). El proceso de aplanamiento siempre estirará partes de la Tierra (como sucede cerca de los polos en la proyección de Mercator anterior) y también puede introducir grandes espacios, como en esta proyección de homolosina de Goode:
Y, por supuesto, ninguna proyección de la Tierra está más distorsionada que la que esta en la mente de un terraplanista:
(Esto se llama en realidad una proyección equidistante azimutal: vaya, esos continentes se ven tontos).
APLICACIÓN DE SUPERFICIES DE CURVATURA NEGATIVA
La superficie más comúnmente encontrada de (casi) constante curvatura negativa en la vida real son las papas Pringles:
El nombre matemático para esta superficie es un paraboloide hiperbólico.
El beneficio de formar una papa de esta forma (además de ser divertido de comer) es que, a diferencia de las papas fritas planas (naturales), las fuerzas laterales que pondrían el esfuerzo cortante en el medio se resisten porque también deben comprimir el material adicional en Los bordes.
A diferencia de la rebanada de pizza doblada arriba, no se necesita fuerza externa adicional para darle a esta estructura una rigidez adicional. La curvatura negativa lo obliga a mantener esta forma; la única forma en que puede evitar que apunte sus bordes mordibles directamente a su boca es rompiéndolo.
Pero, por supuesto, incluso si lo rompes, las piezas aún no se pueden aplanar sin romperse una vez más. Es por eso que no puedes pisar un chip Pringles y terminar con solo una migaja en la alfombra:
Y así concluye mi pequeño paseo por las aplicaciones de la geometría diferencial en nada de particular importancia. Avísame si algo no tiene sentido.
Fuentess: Theorema Egregium - Wikipedia
Gaussian curvature - Wikipedia
Principal curvature - Wikipedia
Images: Google Images, Buzzfeed, Wired
