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¿Qué es un número?

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Aprendiendo a Aprender

Hace más de un mes

Hace años participé en el artículo Número de Wikipedia, fue muy polémico y por lo que veo sigue la polémica sobre cómo definir el concepto. Para los no matemáticos el concepto es muy simple, un número es una medida de una cantidad y ya está. Pero han aparecido una gran cantidad de nociones numéricas diferentes que generalizan el hecho simple de contar (algo que parece los humanos empezaron a hacer unos 40 mil o 50 mil años). Para los matemáticos la cuestión es mucho más complicada, voy a ver si logro retratar la complejidad del asunto sin simplificar demasiado.

La noción de número natural no tiene mayor secreto corresponde a la serie 1, 2, 3, … . Originalmente el 0 no se incluía en esa serie aunque usualmente en matemáticas se define N={0,1,2,3,}N={0,1,2,3,…} (existen varias razones convenientes para incluir el 0 en este conjunto). En la escuela primara nos enseñan igualmente el concepto de números enteros ZZ y números fraccionales QQ, en términos semi-formales podemos escribir NZQN⊂Z⊂Q. Construir de forma matemáticamente esos rigurosos llevó más tiempo de lo que las nociones informales de la primaria sugieren (ZZ se construye como a partir del teorema de simetrización del monoide (N,+)(N,+) y una vez definida la operación de multiplicación en los enteros se procede a demostrar que existe el llamado cuerpo de fracciones de ese anillo que resulta isomorfo a QQ). Los siguientes sistemas numéricos son notoriamente más complicados, si se consideran todos los posibles polinomios con coeficientes racionales se ve que admiten soluciones que no son números racionales, el conjunto de todas esas soluciones son los algebraicos AA. Todos estos conjuntos de los que he hablado NZQAN⊂Z⊂Q⊂A son conjuntos infinitos. Se puede demostrar y esto no es del todo fácil que todos ellos tienen la misma cantidad de elementos: son infinitos del mismo orden de magnitud 0ℵ0. Y topológicamente todos ellos se pueden concebir como una serie de puntos discretos, aunque claro los dos últimos son densos (dados dos racionales o dos algebraicos puede encontrarse otro racional o algebraico en la línea que los une, a diferencia de lo que sucede con los enteros y naturales donde cada número tiene un siguiente y un anterior).

La noción de números reales RR es con mucho mucho más sutil, en la secundaria no se explican adecuadamente las diferencias de este conjunto con QQ. En RR cualquier secuencia de números que se acercan progresivamente converge a un número (esto es una propiedad topológica) los números reales son tan numerosos que la mayor parte de números reales son innombrables, existe una cantidad infinita de reales mucho mayor que de racionales, la infinitud de los reales tienen un orden de magnitud 1ℵ1. Durante mucho tiempo se pensó que localmente el espacio era como R3R3 (espacio euclídeo tridimensional), hoy en día los físicos dudan que a nivel microscópico el espacio tenga algo que ver para estructura matemática, aunque para muchas aplicaciones el espacio euclídeo de los matemáticos parece un modelo razonable para el espacio físico. Los números complejos CC son el conjunto de todas las posibles soluciones de polinomios con coeficientes reales. Se puede escribir la serie de inclusiones semi-formales: NZQRCN⊂Z⊂Q⊂R⊂C. La cosa no acaba ahí se pueden definir los cuaterniones HH, los octoniones OO, los sedeniones SS y otros. Además se pueden definir los hiperreales R∗R, los superrreales, los surreales, e igualmente sus respectivas complejificaciones. Todo sistema numérico de los anteriores se caracteriza por tres cosas: tienen una estructura algebraica (monoide, anillo, cuerpo, álgebra sobre un cuerpo), satisfacen ciertas propiedades de orden (orden total, buen orden) y tienen ciertas propiedades topológicas y analíticas (densidad, metrizabilidad, completitud). Después de ver esta enorme variedad de sistemas abstractos que constan de números uno se plantea que tienen en común y qué relación guardan con la noción de cantidad o medida. La realidad es que el concepto de número es una abstracción matemática que incluye aspectos algebraicos, topológicos, de orden y otras propiedades más.

Y ni aún así los sistemas numéricos mencionados anteriormente agotan la noción de número en teoría de conjuntos se puede definir toda una serie de números infinitos que no constituyen sistemas numéricos como los anteriores, pero aún así tienen ciertas propiedades aritméticas. Estos números son interpretables como cantidad aun cuando sean infinitos. Existen dos formalismos con diferentes aplicaciones para definirlos los cardinales (que incluyen a los naturales, y los generalizan) y los ordinales (que también incluyen a los naturales y los generalizan). De hecho los cardinales son un tipo especial de ordinal (todo cardinal es también un ordinal pero no al revés).

Visto todo lo que en matemáticas puede ser un número la noción intuitiva que nos dan en la primara de que los números representan cantidades (contables) o medidas (incontables) sencillamente es una simplificación para niños. En gran medida la física ha empleado casi todos los tipos de números anteriores, usualmente usa los números reales, aunque en algunas aplicaciones los números complejos (algunos resultados son enteros o racionales, los algebraicos no parecen haber tenido mucho uso en física). Para los octoniones y los sedeniones, no conozco aplicaciones prácticas aunque sí para los cuaterniones (que son muy útiles para representar rotaciones en tres dimensiones). En el software de cálculo simbólico se han usado principios de relacionados con los números hiperreales, y algunas demostraciones se pueden simplificar mucho si se usa un formalismo basado en ellos. Los surreales y los superreales en gran medida son abstracciones teóricas sin mucho uso en física. Finalmente los cardinales tienen uso en mecánica cuántica para decir si un operador puede ser extendido autoadjunto, y de los ordinales no conozco una aplicación física práctica.

Hace años participé en el artículo Número de Wikipedia, fue muy polémico y por lo que veo sigue la polémica sobre cómo definir el concepto. Para los no matemáticos el concepto es muy simple, un número es una medida de una cantidad y ya está. Pero han aparecido una gran cantidad de nociones numéricas diferentes que generalizan el hecho simple de contar (algo que parece los humanos empezaron a hacer unos 40 mil o 50 mil años). Para los matemáticos la cuestión es mucho más complicada, voy a ver si logro retratar la complejidad del asunto sin simplificar demasiado.

La noción de número natural no tiene mayor secreto corresponde a la serie 1, 2, 3, … . Originalmente el 0 no se incluía en esa serie aunque usualmente en matemáticas se define N={0,1,2,3,}N={0,1,2,3,…} (existen varias razones convenientes para incluir el 0 en este conjunto). En la escuela primara nos enseñan igualmente el concepto de números enteros ZZ y números fraccionales QQ, en términos semi-formales podemos escribir NZQN⊂Z⊂Q. Construir de forma matemáticamente esos rigurosos llevó más tiempo de lo que las nociones informales de la primaria sugieren (ZZ se construye como a partir del teorema de simetrización del monoide (N,+)(N,+) y una vez definida la operación de multiplicación en los enteros se procede a demostrar que existe el llamado cuerpo de fracciones de ese anillo que resulta isomorfo a QQ). Los siguientes sistemas numéricos son notoriamente más complicados, si se consideran todos los posibles polinomios con coeficientes racionales se ve que admiten soluciones que no son números racionales, el conjunto de todas esas soluciones son los algebraicos AA. Todos estos conjuntos de los que he hablado NZQAN⊂Z⊂Q⊂A son conjuntos infinitos. Se puede demostrar y esto no es del todo fácil que todos ellos tienen la misma cantidad de elementos: son infinitos del mismo orden de magnitud 0ℵ0. Y topológicamente todos ellos se pueden concebir como una serie de puntos discretos, aunque claro los dos últimos son densos (dados dos racionales o dos algebraicos puede encontrarse otro racional o algebraico en la línea que los une, a diferencia de lo que sucede con los enteros y naturales donde cada número tiene un siguiente y un anterior).

La noción de números reales RR es con mucho mucho más sutil, en la secundaria no se explican adecuadamente las diferencias de este conjunto con QQ. En RR cualquier secuencia de números que se acercan progresivamente converge a un número (esto es una propiedad topológica) los números reales son tan numerosos que la mayor parte de números reales son innombrables, existe una cantidad infinita de reales mucho mayor que de racionales, la infinitud de los reales tienen un orden de magnitud 1ℵ1. Durante mucho tiempo se pensó que localmente el espacio era como R3R3 (espacio euclídeo tridimensional), hoy en día los físicos dudan que a nivel microscópico el espacio tenga algo que ver para estructura matemática, aunque para muchas aplicaciones el espacio euclídeo de los matemáticos parece un modelo razonable para el espacio físico. Los números complejos CC son el conjunto de todas las posibles soluciones de polinomios con coeficientes reales. Se puede escribir la serie de inclusiones semi-formales: NZQRCN⊂Z⊂Q⊂R⊂C. La cosa no acaba ahí se pueden definir los cuaterniones HH, los octoniones OO, los sedeniones SS y otros. Además se pueden definir los hiperreales R∗R, los superrreales, los surreales, e igualmente sus respectivas complejificaciones. Todo sistema numérico de los anteriores se caracteriza por tres cosas: tienen una estructura algebraica (monoide, anillo, cuerpo, álgebra sobre un cuerpo), satisfacen ciertas propiedades de orden (orden total, buen orden) y tienen ciertas propiedades topológicas y analíticas (densidad, metrizabilidad, completitud). Después de ver esta enorme variedad de sistemas abstractos que constan de números uno se plantea que tienen en común y qué relación guardan con la noción de cantidad o medida. La realidad es que el concepto de número es una abstracción matemática que incluye aspectos algebraicos, topológicos, de orden y otras propiedades más.

Y ni aún así los sistemas numéricos mencionados anteriormente agotan la noción de número en teoría de conjuntos se puede definir toda una serie de números infinitos que no constituyen sistemas numéricos como los anteriores, pero aún así tienen ciertas propiedades aritméticas. Estos números son interpretables como cantidad aun cuando sean infinitos. Existen dos formalismos con diferentes aplicaciones para definirlos los cardinales (que incluyen a los naturales, y los generalizan) y los ordinales (que también incluyen a los naturales y los generalizan). De hecho los cardinales son un tipo especial de ordinal (todo cardinal es también un ordinal pero no al revés).

Visto todo lo que en matemáticas puede ser un número la noción intuitiva que nos dan en la primara de que los números representan cantidades (contables) o medidas (incontables) sencillamente es una simplificación para niños. En gran medida la física ha empleado casi todos los tipos de números anteriores, usualmente usa los números reales, aunque en algunas aplicaciones los números complejos (algunos resultados son enteros o racionales, los algebraicos no parecen haber tenido mucho uso en física). Para los octoniones y los sedeniones, no conozco aplicaciones prácticas aunque sí para los cuaterniones (que son muy útiles para representar rotaciones en tres dimensiones). En el software de cálculo simbólico se han usado principios de relacionados con los números hiperreales, y algunas demostraciones se pueden simplificar mucho si se usa un formalismo basado en ellos. Los surreales y los superreales en gran medida son abstracciones teóricas sin mucho uso en física. Finalmente los cardinales tienen uso en mecánica cuántica para decir si un operador puede ser extendido autoadjunto, y de los ordinales no conozco una aplicación física práctica.

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