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¿Cuáles son algunas cosas que los matemáticos saben, pero la mayoría de las personas no?

Matemática

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Hace más de un mes

Abróchense los cinturones, amigos. Esta será una respuesta larga, con enlaces a muchas otras respuestas largas.

Me voy a limitar a resultados y conceptos que sean razonablemente fáciles de explicar (aunque no necesariamente fáciles de probar). También voy a tratar de dividir por categorías generales, y generalmente me alejaré de las matemáticas de grado y posgrado. Incluso con estas enormes restricciones, esta no pretende ser una lista exhaustiva. De hecho, comenzaré exactamente con eso.

Conocimientos generales

  1. Las matemáticas son vastas. Creo que la mayoría de la gente es vagamente consciente de que hay algunas cosas más allá del cálculo, pero por lo que puedo decir, muy pocos entienden exactamente cuánto. Las matemáticas han tenido una enorme explosión en los últimos doscientos años, hasta el punto de que ya no es humanamente posible que una persona esté bien familiarizada con todos los campos y subcampos de las matemáticas.
  2. Las matemáticas no se tratan de números. Ya he escrito antes sobre cómo el término 'números' realmente ha caído en desgracia () porque no es descriptivo. Hay muchos otros tipos de estructuras algebraicas además de las que la mayoría conoce, y la distinción entre cuáles son números y cuáles no es muy arbitraria.
  3. Las matemáticas no se tratan de resolver ecuaciones. Las ecuaciones también aparecen a menudo en el trabajo matemático, y hay muchos resultados y conjeturas interesantes sobre la resolución de varios tipos de ecuaciones. También hay muchos resultados muy interesantes sobre cuándo es imposible escribir un algoritmo que resuelva automáticamente (alguna clase de) ecuaciones, o cuando algún sistema de ecuaciones no tiene una solución que pueda expresarse en términos de funciones elementales. Aun así, las ecuaciones son herramientas y están lejos de ser las únicas. Gran parte de la topología se escribe sin una sola ecuación a la vista (sin una interpretación liberal de lo que significa una ecuación).
  4. Las matemáticas se tratan del estudio de las estructuras. ofrece una buena visión general de las opiniones de varios matemáticos sobre lo que realmente tratan las matemáticas.
  5. Los objetos en matemáticas se describen no por lo que son, sino por lo que hacen. Este es un cambio importante en el pensamiento de muchas personas. Lo describiría con más detalle, pero creo que ya he dado un resumen decente aquí:
  6. Las matemáticas no están limitadas por las leyes de la física, solo por las leyes de la lógica. Quizás esta sea una afirmación un poco controvertida, así que déjame aclarar lo que quiero decir. Quiero decir que si descubrimos que el espacio es curvo, eso no hace que la geometría euclidiana sea falsa como teoría matemática. Sigue siendo tan cierto como cuando Euclides escribió los Elementos; es solo que hemos descubierto que no es un buen modelo para el espacio-tiempo. A los matemáticos modernos no les preocupa demasiado si habrá un modelo físico para cualquier estructura matemática que creen. Esto ha llevado a una mayor libertad, capacidad para establecer conexiones inesperadas y productividad.
  7. Las matemáticas son útiles. Esto es muy sorprendente, considerando el punto anterior. Sin embargo, cuando estás construyendo algo en matemáticas, nunca sabes exactamente cómo se conectará con todo lo demás y, como resultado, nunca sabes realmente dónde / cómo / si va a ser útil. El famoso ejemplo de la teoría de los números que resultó ser una herramienta valiosa en criptografía se ha mencionado en otra respuesta.
  8. Las matemáticas son fundamentalmente creativas. Hilbert, uno de los matemáticos más famosos del siglo pasado, comentó una vez sobre uno de sus antiguos alumnos que el joven no había sido lo suficientemente creativo para ser matemático, pero ahora que se había convertido en poeta, estaba bien. Aunque este comentario haya sido irónico, tiene algo de verdad. Debido a que las matemáticas están limitadas solo por las leyes de la lógica, hay conexiones muy sorprendentes y profundas que uno puede encontrar, si es lo suficientemente creativo para verlo. Nos guste o no, todos tenemos modelos mentales internos de para qué se utilizan los diversos campos de las matemáticas y de qué se tratan. Ver que un campo de las matemáticas tiene algo que decir sobre otro campo no es un ejercicio trivial. Considere la realización de Descartes de que había una conexión entre las ecuaciones y la geometría, lo que condujo al plano cartesiano que ahora damos por sentado. Considere el descubrimiento, que se remonta a Galois, de que existe una conexión entre el álgebra lineal (que se ocupa de los sistemas de ecuaciones, matrices, etc.), las soluciones de las ecuaciones polinomiales (¿por qué hay una fórmula para la ecuación cuadrática, cúbica y cuártica, pero no hay fórmula para la ecuación quíntica?), y la constructibilidad de ciertos objetos en geometría (¿por qué no se puede trisecar un ángulo con una regla y un transportador?). ¿No fueron estos actos creativos?

Números y sistemas numéricos

  1. Un número no es su representación. Mucha gente se confunde cuando ve algo como 0.999=10.999…=1, porque aquí hay dos cosas diferentes que les dicen que son iguales. A veces, la gente también hace preguntas que son extrañas para un matemático, como si los números primos son diferentes en base 2 o base 12. Déjame aclarar: hay muchas formas diferentes de representar un número. Eso se aplica a números enteros, números racionales, números reales y cualquier otra cosa que le gustaría llamar a un número (ya me he quejado de la ambigüedad de esta palabra). De hecho, muchas veces, hay muchas formas diferentes de representar cualquier cosa. La representación no importa --- vea el punto # 5 arriba. Desafortunadamente, esto es comprensiblemente confuso, ¡porque la mayoría de las personas no aprenden qué son realmente los números reales!
  2. Los números reales son extraños. Para empezar, son mucho, mucho más grandes de lo que probablemente se imagina (consulte la sección sobre teoría de conjuntos para obtener más información sobre esto). La forma en que se definen es un poco extravagante: es un proceso de "rellenar huecos". Empiece con los racionales. Lo racional tiene un pequeño problema: es posible que una secuencia de números racionales anan y se acerque cada vez más a algo (siendo más preciso, los términos anan se acercan cada vez más entre sí), pero ese algo no es un número. Por ejemplo, si FnFn es el nn-ésimo número de Fibonacci, entonces \frac{F_{n + 1]}{F_{n}}\frac{F_{n + 1]}{F_{n}} es un número racional, y puedes probar que esta secuencia de números racionales está cada vez más cerca a medida que nn se vuelve muy grande, pero el límite no es un número racional. número. De hecho, es la proporción áurea, ϕ=1+52ϕ=1+52. Ya he escrito sobre las propiedades especiales de este número[1] . Para solucionar este problema de los racionales, les agregas elementos para cada secuencia como esta, por lo tanto, 'llenando los huecos', o (como es el término matemático real) tomando la completitud de los números racionales. Es posible que note el problema de que tendrá diferentes secuencias que deberían corresponder al mismo número real (es decir, diferentes secuencias de los racionales que deberían tener el mismo límite). Hay una manera formal de arreglar esto, pero tomaré una ruta informal (que podría hacer rigurosa): dos números reales xx e yy son iguales si |xy|<1n|x−y|<1n para cualquier entero positivo nn. Dicho esto, se prueba que 0,999=10,999…=1.
  3. Los números complejos no son muy extraños. Personalmente, creo que los números no computables merecen mucho más el nombre de "imaginarios" que la pequeña ii. Mientras que el cambio de números racionales a números reales agregó una gran cantidad (y me refiero a muchos) de elementos nuevos, el cambio de números reales a números complejos es mucho, mucho más sencillo. El proceso de agregar la raíz de alguna ecuación polinomial se llama extensión algebraica y ocurre con frecuencia en matemáticas. Hay muchas formas de entenderlo. Para los números complejos, esto está bien cubierto por esta publicación de Quora:
  4. Los números complejos son de enorme utilidad. Probablemente haya mejores argumentos sobre esta afirmación, pero sé que he escrito sobre ello antes en este sitio[2] .
  5. Ni 22 ni ππ son particularmente extraños. Por alguna razón, el hecho de que 22 y ππ no tengan una expansión decimal finita o periódica asusta a algunas personas. Sin embargo, ambos son números computables y ambos tienen algunas representaciones muy agradables. Por ejemplo, π=6n=11n2π=6∑n=1∞1n2,2=1+12+12+2=1+12+12+⋱ añadir 22a los números racionales en particular es bueno, porque es una extensión algebraica.

Teoría de conjuntos y el concepto de infinito

  1. El infinito no es un concepto bien definido. Para ser un poco más preciso, hay muchas nociones diferentes que un matemático podría tener en mente cuando habla de "infinito", y todas son bastante diferentes. la gente a menudo se tiene problemas con este concepto porque comienzan a tratar el infinito como un número y combinan diferentes conceptos de lo que es el infinito, lo que naturalmente produce a confusión y resultados erróneos. La noción de "infinito" de la que me ocuparé en esta sección es la idea de "conjuntos infinitos".
  2. Los conjuntos infinitos vienen en muchos tamaños diferentes. Para ser más precisos, existe una noción de "tamaño" que los matemáticos atribuyen a los conjuntos infinitos, que se llama cardinalidad. Se dice que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si puede hacer coincidir los elementos de los dos conjuntos; por ejemplo, no es necesario contar el número de patas de un cienpiés para saber que hay tantas patas en el lado derecho como los hay a la izquierda, porque puedes unirlos directamente. Sorprendentemente, los números naturales, los números pares y los racionales pueden combinarse de esta manera, por lo que tienen la misma cardinalidad (decimos que son infinitos contables). Los números reales, sin embargo, tienen otra cardinalidad mayor.
  3. Los números pares tienen la misma cardinalidad que los enteros. Sé que técnicamente ya mencioné eso en el punto anterior, pero quería reiterar esto simplemente porque es muy contra-intuitivo para la mayoría de las personas que ven la teoría por primera vez. Para una discusión más profunda sobre la intuición de esto, puede mirar aquí:
  4. No existe el conjunto "más grande". Puede seguir construyendo conjuntos de cardinalidad cada vez más grande. En cierto sentido, este problema fundamental es lo que llevó a la paradoja de Russell [3] y obligó a los lógicos a reexaminar los fundamentos de las matemáticas.

Funciones y análisis real

  1. Una función no es una 'regla'. He descubierto que muchas personas tienen la idea errónea de que una función es una especie de regla como f(x)=x2+3f(x)=x2+3 o tal vez f(x)=ex2f(x)=e−x2. Eso no es del todo incorrecto, pero sería más correcto pensar en una función como una forma de hacer coincidir entradas y salidas. Es decir, tienes una especie de caja negra. Le da una entrada a esta caja negra y le devolverá una salida; la única restricción real es que dada una entrada en particular, la salida debe ser siempre la misma. No puede ser 'azul' cuando se le da la gana, pero a veces 'rojo', y si está teniendo un día realmente malo, devolverá '5'. El conjunto de entradas que tomará la caja negra es el dominio. El conjunto de salidas es el codominio. Eso es. Eso es todo lo que es una función. Por ejemplo, el ejemplo que doy aquí[4] es completamente kosher. Dicho esto, de ahora en adelante, asumiré que mis funciones van de los números reales a los números reales.
  2. La mayoría de las funciones no son continuas en ninguna parte. Por supuesto, esto depende de cómo elija definir "la mayoría", pero prácticamente cualquier definición razonable le dará este resultado. Aquí hay un ejemplo explícito de una función como esta: 1Q1Q es 1 si xx es racional, pero 0 si xx es irracional.
  3. Existe una función que es continua en un solo punto. f (x) = x1Qx1Q.
  4. Existe una función que es suave en un solo punto.
  5. Existen funciones que son suaves pero no analíticas (es decir, no convergen a sus expansiones de Taylor). Escribí bastante sobre esto
  6. Existen funciones que son suaves en todas partes y en ninguna parte analíticas. Di un ejemplo aquí[5] . En breve,
  7. Las funciones de valor real se comportan mucho peor de lo que deberían ser.

Análisis complejo

  1. Las funciones de variable compleja se comportan mucho mejor de lo que deberían ser. Específicamente, me refiero a funciones que tienen derivadas complejas. Lo sorprendente es que si una función compleja es diferenciable una vez, entonces es dos, tres ... diferenciables. De hecho, ¡será analítico! A tales funciones las llamamos holomórficas.
  2. Las funciones holomórficas son lo mejor que existe. Como matemático teórico en teoría analítica de números, probablemente estoy sesgado, pero nunca deja de sorprenderme lo estructuradas que están las funciones holomórficas. Una función holomórfica se puede reconstruir completamente (o al menos, hasta una constante) a partir de piezas de información increiblemente pequeñas, a veces tan poco como saber qué tan rápido crece y en dónde es cero. Si bien ya he incluido este enlace, vale la pena repetir que las funciones holomórficas son tremendamente útiles:

Misceláneos

  1. No es correcto decir la cuarta dimensión. Deberías decir una cuarta dimensión. Esto es algo que me molesta. Escribí sobre esto aquí: Permítanme ampliar esto un poco para señalar que simplemente decir "dimensión" tiene muchas de las mismas dificultades que decir "infinito".
  2. Existen diferentes definiciones de "dimensión" según el contexto. Existe la dimensión de un espacio vectorial sobre un campo (que generalmente son números reales o complejos, pero podrían ser muchas otras cosas). Existe la dimensión de una variedad(es una noción conectada, sin embargo diferente) Existe la dimensión Krull. Existe la dimensión de Hausdorff. Lo que sea, lo tenemos.

Por ahora, creo que terminaré mi respuesta aquí. Si tengo alguna idea brillante o si hay sugerencias / solicitudes específicas, podría agregar algunas cosas más.

Notas al pie

Abróchense los cinturones, amigos. Esta será una respuesta larga, con enlaces a muchas otras respuestas largas.

Me voy a limitar a resultados y conceptos que sean razonablemente fáciles de explicar (aunque no necesariamente fáciles de probar). También voy a tratar de dividir por categorías generales, y generalmente me alejaré de las matemáticas de grado y posgrado. Incluso con estas enormes restricciones, esta no pretende ser una lista exhaustiva. De hecho, comenzaré exactamente con eso.

Conocimientos generales

  1. Las matemáticas son vastas. Creo que la mayoría de la gente es vagamente consciente de que hay algunas cosas más allá del cálculo, pero por lo que puedo decir, muy pocos entienden exactamente cuánto. Las matemáticas han tenido una enorme explosión en los últimos doscientos años, hasta el punto de que ya no es humanamente posible que una persona esté bien familiarizada con todos los campos y subcampos de las matemáticas.
  2. Las matemáticas no se tratan de números. Ya he escrito antes sobre cómo el término 'números' realmente ha caído en desgracia () porque no es descriptivo. Hay muchos otros tipos de estructuras algebraicas además de las que la mayoría conoce, y la distinción entre cuáles son números y cuáles no es muy arbitraria.
  3. Las matemáticas no se tratan de resolver ecuaciones. Las ecuaciones también aparecen a menudo en el trabajo matemático, y hay muchos resultados y conjeturas interesantes sobre la resolución de varios tipos de ecuaciones. También hay muchos resultados muy interesantes sobre cuándo es imposible escribir un algoritmo que resuelva automáticamente (alguna clase de) ecuaciones, o cuando algún sistema de ecuaciones no tiene una solución que pueda expresarse en términos de funciones elementales. Aun así, las ecuaciones son herramientas y están lejos de ser las únicas. Gran parte de la topología se escribe sin una sola ecuación a la vista (sin una interpretación liberal de lo que significa una ecuación).
  4. Las matemáticas se tratan del estudio de las estructuras. ofrece una buena visión general de las opiniones de varios matemáticos sobre lo que realmente tratan las matemáticas.
  5. Los objetos en matemáticas se describen no por lo que son, sino por lo que hacen. Este es un cambio importante en el pensamiento de muchas personas. Lo describiría con más detalle, pero creo que ya he dado un resumen decente aquí:
  6. Las matemáticas no están limitadas por las leyes de la física, solo por las leyes de la lógica. Quizás esta sea una afirmación un poco controvertida, así que déjame aclarar lo que quiero decir. Quiero decir que si descubrimos que el espacio es curvo, eso no hace que la geometría euclidiana sea falsa como teoría matemática. Sigue siendo tan cierto como cuando Euclides escribió los Elementos; es solo que hemos descubierto que no es un buen modelo para el espacio-tiempo. A los matemáticos modernos no les preocupa demasiado si habrá un modelo físico para cualquier estructura matemática que creen. Esto ha llevado a una mayor libertad, capacidad para establecer conexiones inesperadas y productividad.
  7. Las matemáticas son útiles. Esto es muy sorprendente, considerando el punto anterior. Sin embargo, cuando estás construyendo algo en matemáticas, nunca sabes exactamente cómo se conectará con todo lo demás y, como resultado, nunca sabes realmente dónde / cómo / si va a ser útil. El famoso ejemplo de la teoría de los números que resultó ser una herramienta valiosa en criptografía se ha mencionado en otra respuesta.
  8. Las matemáticas son fundamentalmente creativas. Hilbert, uno de los matemáticos más famosos del siglo pasado, comentó una vez sobre uno de sus antiguos alumnos que el joven no había sido lo suficientemente creativo para ser matemático, pero ahora que se había convertido en poeta, estaba bien. Aunque este comentario haya sido irónico, tiene algo de verdad. Debido a que las matemáticas están limitadas solo por las leyes de la lógica, hay conexiones muy sorprendentes y profundas que uno puede encontrar, si es lo suficientemente creativo para verlo. Nos guste o no, todos tenemos modelos mentales internos de para qué se utilizan los diversos campos de las matemáticas y de qué se tratan. Ver que un campo de las matemáticas tiene algo que decir sobre otro campo no es un ejercicio trivial. Considere la realización de Descartes de que había una conexión entre las ecuaciones y la geometría, lo que condujo al plano cartesiano que ahora damos por sentado. Considere el descubrimiento, que se remonta a Galois, de que existe una conexión entre el álgebra lineal (que se ocupa de los sistemas de ecuaciones, matrices, etc.), las soluciones de las ecuaciones polinomiales (¿por qué hay una fórmula para la ecuación cuadrática, cúbica y cuártica, pero no hay fórmula para la ecuación quíntica?), y la constructibilidad de ciertos objetos en geometría (¿por qué no se puede trisecar un ángulo con una regla y un transportador?). ¿No fueron estos actos creativos?

Números y sistemas numéricos

  1. Un número no es su representación. Mucha gente se confunde cuando ve algo como 0.999=10.999…=1, porque aquí hay dos cosas diferentes que les dicen que son iguales. A veces, la gente también hace preguntas que son extrañas para un matemático, como si los números primos son diferentes en base 2 o base 12. Déjame aclarar: hay muchas formas diferentes de representar un número. Eso se aplica a números enteros, números racionales, números reales y cualquier otra cosa que le gustaría llamar a un número (ya me he quejado de la ambigüedad de esta palabra). De hecho, muchas veces, hay muchas formas diferentes de representar cualquier cosa. La representación no importa --- vea el punto # 5 arriba. Desafortunadamente, esto es comprensiblemente confuso, ¡porque la mayoría de las personas no aprenden qué son realmente los números reales!
  2. Los números reales son extraños. Para empezar, son mucho, mucho más grandes de lo que probablemente se imagina (consulte la sección sobre teoría de conjuntos para obtener más información sobre esto). La forma en que se definen es un poco extravagante: es un proceso de "rellenar huecos". Empiece con los racionales. Lo racional tiene un pequeño problema: es posible que una secuencia de números racionales anan y se acerque cada vez más a algo (siendo más preciso, los términos anan se acercan cada vez más entre sí), pero ese algo no es un número. Por ejemplo, si FnFn es el nn-ésimo número de Fibonacci, entonces \frac{F_{n + 1]}{F_{n}}\frac{F_{n + 1]}{F_{n}} es un número racional, y puedes probar que esta secuencia de números racionales está cada vez más cerca a medida que nn se vuelve muy grande, pero el límite no es un número racional. número. De hecho, es la proporción áurea, ϕ=1+52ϕ=1+52. Ya he escrito sobre las propiedades especiales de este número[1] . Para solucionar este problema de los racionales, les agregas elementos para cada secuencia como esta, por lo tanto, 'llenando los huecos', o (como es el término matemático real) tomando la completitud de los números racionales. Es posible que note el problema de que tendrá diferentes secuencias que deberían corresponder al mismo número real (es decir, diferentes secuencias de los racionales que deberían tener el mismo límite). Hay una manera formal de arreglar esto, pero tomaré una ruta informal (que podría hacer rigurosa): dos números reales xx e yy son iguales si |xy|<1n|x−y|<1n para cualquier entero positivo nn. Dicho esto, se prueba que 0,999=10,999…=1.
  3. Los números complejos no son muy extraños. Personalmente, creo que los números no computables merecen mucho más el nombre de "imaginarios" que la pequeña ii. Mientras que el cambio de números racionales a números reales agregó una gran cantidad (y me refiero a muchos) de elementos nuevos, el cambio de números reales a números complejos es mucho, mucho más sencillo. El proceso de agregar la raíz de alguna ecuación polinomial se llama extensión algebraica y ocurre con frecuencia en matemáticas. Hay muchas formas de entenderlo. Para los números complejos, esto está bien cubierto por esta publicación de Quora:
  4. Los números complejos son de enorme utilidad. Probablemente haya mejores argumentos sobre esta afirmación, pero sé que he escrito sobre ello antes en este sitio[2] .
  5. Ni 22 ni ππ son particularmente extraños. Por alguna razón, el hecho de que 22 y ππ no tengan una expansión decimal finita o periódica asusta a algunas personas. Sin embargo, ambos son números computables y ambos tienen algunas representaciones muy agradables. Por ejemplo, π=6n=11n2π=6∑n=1∞1n2,2=1+12+12+2=1+12+12+⋱ añadir 22a los números racionales en particular es bueno, porque es una extensión algebraica.

Teoría de conjuntos y el concepto de infinito

  1. El infinito no es un concepto bien definido. Para ser un poco más preciso, hay muchas nociones diferentes que un matemático podría tener en mente cuando habla de "infinito", y todas son bastante diferentes. la gente a menudo se tiene problemas con este concepto porque comienzan a tratar el infinito como un número y combinan diferentes conceptos de lo que es el infinito, lo que naturalmente produce a confusión y resultados erróneos. La noción de "infinito" de la que me ocuparé en esta sección es la idea de "conjuntos infinitos".
  2. Los conjuntos infinitos vienen en muchos tamaños diferentes. Para ser más precisos, existe una noción de "tamaño" que los matemáticos atribuyen a los conjuntos infinitos, que se llama cardinalidad. Se dice que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si puede hacer coincidir los elementos de los dos conjuntos; por ejemplo, no es necesario contar el número de patas de un cienpiés para saber que hay tantas patas en el lado derecho como los hay a la izquierda, porque puedes unirlos directamente. Sorprendentemente, los números naturales, los números pares y los racionales pueden combinarse de esta manera, por lo que tienen la misma cardinalidad (decimos que son infinitos contables). Los números reales, sin embargo, tienen otra cardinalidad mayor.
  3. Los números pares tienen la misma cardinalidad que los enteros. Sé que técnicamente ya mencioné eso en el punto anterior, pero quería reiterar esto simplemente porque es muy contra-intuitivo para la mayoría de las personas que ven la teoría por primera vez. Para una discusión más profunda sobre la intuición de esto, puede mirar aquí:
  4. No existe el conjunto "más grande". Puede seguir construyendo conjuntos de cardinalidad cada vez más grande. En cierto sentido, este problema fundamental es lo que llevó a la paradoja de Russell [3] y obligó a los lógicos a reexaminar los fundamentos de las matemáticas.

Funciones y análisis real

  1. Una función no es una 'regla'. He descubierto que muchas personas tienen la idea errónea de que una función es una especie de regla como f(x)=x2+3f(x)=x2+3 o tal vez f(x)=ex2f(x)=e−x2. Eso no es del todo incorrecto, pero sería más correcto pensar en una función como una forma de hacer coincidir entradas y salidas. Es decir, tienes una especie de caja negra. Le da una entrada a esta caja negra y le devolverá una salida; la única restricción real es que dada una entrada en particular, la salida debe ser siempre la misma. No puede ser 'azul' cuando se le da la gana, pero a veces 'rojo', y si está teniendo un día realmente malo, devolverá '5'. El conjunto de entradas que tomará la caja negra es el dominio. El conjunto de salidas es el codominio. Eso es. Eso es todo lo que es una función. Por ejemplo, el ejemplo que doy aquí[4] es completamente kosher. Dicho esto, de ahora en adelante, asumiré que mis funciones van de los números reales a los números reales.
  2. La mayoría de las funciones no son continuas en ninguna parte. Por supuesto, esto depende de cómo elija definir "la mayoría", pero prácticamente cualquier definición razonable le dará este resultado. Aquí hay un ejemplo explícito de una función como esta: 1Q1Q es 1 si xx es racional, pero 0 si xx es irracional.
  3. Existe una función que es continua en un solo punto. f (x) = x1Qx1Q.
  4. Existe una función que es suave en un solo punto.
  5. Existen funciones que son suaves pero no analíticas (es decir, no convergen a sus expansiones de Taylor). Escribí bastante sobre esto
  6. Existen funciones que son suaves en todas partes y en ninguna parte analíticas. Di un ejemplo aquí[5] . En breve,
  7. Las funciones de valor real se comportan mucho peor de lo que deberían ser.

Análisis complejo

  1. Las funciones de variable compleja se comportan mucho mejor de lo que deberían ser. Específicamente, me refiero a funciones que tienen derivadas complejas. Lo sorprendente es que si una función compleja es diferenciable una vez, entonces es dos, tres ... diferenciables. De hecho, ¡será analítico! A tales funciones las llamamos holomórficas.
  2. Las funciones holomórficas son lo mejor que existe. Como matemático teórico en teoría analítica de números, probablemente estoy sesgado, pero nunca deja de sorprenderme lo estructuradas que están las funciones holomórficas. Una función holomórfica se puede reconstruir completamente (o al menos, hasta una constante) a partir de piezas de información increiblemente pequeñas, a veces tan poco como saber qué tan rápido crece y en dónde es cero. Si bien ya he incluido este enlace, vale la pena repetir que las funciones holomórficas son tremendamente útiles:

Misceláneos

  1. No es correcto decir la cuarta dimensión. Deberías decir una cuarta dimensión. Esto es algo que me molesta. Escribí sobre esto aquí: Permítanme ampliar esto un poco para señalar que simplemente decir "dimensión" tiene muchas de las mismas dificultades que decir "infinito".
  2. Existen diferentes definiciones de "dimensión" según el contexto. Existe la dimensión de un espacio vectorial sobre un campo (que generalmente son números reales o complejos, pero podrían ser muchas otras cosas). Existe la dimensión de una variedad(es una noción conectada, sin embargo diferente) Existe la dimensión Krull. Existe la dimensión de Hausdorff. Lo que sea, lo tenemos.

Por ahora, creo que terminaré mi respuesta aquí. Si tengo alguna idea brillante o si hay sugerencias / solicitudes específicas, podría agregar algunas cosas más.

Notas al pie

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