¿Cómo se encuentran las soluciones en enteros positivos a

I was playing around with several cubic representation problems in the style of previous work by Andrew and Richard Guy. The numerical results were fascinating…” (comment on MathOverflow)

De esta manera Allan MacLeod, un matemático retirado, se topó con esta ecuación hace pocos años, y es una ecuación fascinante. Sinceramente, es una de las mejores ecuaciones diofánticas que haya visto, y he visto unas cuantas.

Me la encontré cuando andaba rondando la web como un falso meme caza-nerds diseñado por algún alma cruel. No tenía ni idea de lo que tenía delante. Era algo así:

Quizás has visto antes imágenes-meme como esta. Siempre son pura basura click-bait: “El 95% de graduados del MIT no pudo resolver esto!”, donde “esto” es algún tipo de acertijo engañoso o trivial.

Este no lo es. El meme es una broma inteligente, o retorcida. Más o menos el 99.999995% de la gente no tiene la mínima oportunidad de resolverlo, y eso incluye un buen número de matemáticos en universidades punteras que simplemente cuadra que no trabajan en teoría de números. Tiene solución, sí, pero es realmente, genuinamente difícil.

Podrías pensar que, si todo lo demás falla, podemos simplemente tirar de ordenadores. Es bastante fácil escribir un programa que busque soluciones para esta ecuación aparentemente simple. Seguro que las acaba encontrando en algún momento, si existen. Mal. Una búsqueda por fuerza bruta es completamente inútil en este caso.

No sé como meter toda la solución en una respuesta de Quora sin asumir que todos saben ya todo lo que hay que saber sobre curvas elípticas. Todo lo que puedo hacer aquí es una pequeña reseña. La principal referencia es un estupendo artículo, bastante reciente, de Bremmer y MacLeod llamado “An unusual cubic representation problem”, publicado en 2014 en the Annales Mathematicae et Informaticae.

Empecemos.

Estamos buscando soluciones en enteros positivos de la ecuación

ab+c+ba+c+ca+b=4(1)(1)ab+c+ba+c+ca+b=4

(He cambiado los nombres de las variables para que coincidan con los del artículo).

Lo primero que hay que hacer al observar cualquier ecuación es intentar ubicarla en el contexto adecuado. ¿Qué tenemos aquí? Veamos, nos piden soluciones en enteros, así que es un problema de teoría de números. Así planteada, la ecuación incluye funciones racionales (polinomios divididos por otros polinomios), pero está claro que podemos multiplicar los denominadores por un múltiplo común para simplificar un poco y quedarnos sólo con polinomios, de modo que tengamos una Ecuación diofántica. La condición “positivos” es algo inusual y, como veremos, complica las cosas.

Ahora, ¿cuántas variables tenemos? Parece una pregunta tonta: claramente tenemos tres, aa, bb y cc. Bueno, no tan rápido. Alguien con experiencia en teoría de números inmediatamente se da cuenta de que la ecuación es homogénea. Lo que significa es que si (a,b,c)(a,b,c) es una solución, entonces (7a,7b,7c)(7a,7b,7c) también lo es. ¿Puedes ver por qué? Multiplicar cada variable por una constante (77 es un ejemplo) no cambia nada, porque la constante se cancela en cada fracción.

tatb+tc=tat(b+c)=ab+ctatb+tc=tat(b+c)=ab+c.

Esto significa que la ecuación sólo aparenta ser tridimensional. En realidad es bidimensional. Geométricamente, tenemos una superficie (una ecuación de tres variables define en general una superficie bidimensional. Generalmente, kk ecuaciones de nn variables definen una variedad dd-dimensional, con d=n−kd=n−k). Pero esta superficie en realidad es barrida por una linea que pasa por el origen y se mueve en torno a él; la superficie resultante se puede entender centrándonos en cómo corta a un plano. Esto es una curva proyectiva.

En términos sencillos, esto es lo que significa esta reducción: podemos clasificar las soluciones, sean cuales sean, en aquellas donde c=0c=0 y aquellas dondec≠0c≠0. La primera categoría implica sólo las variables aa y bb, y para la segunda categoría podemos dividir por cc y obtener una solución para c=1c=1. Así que realmente podemos sin más buscar soluciones racionales para aa y bb para el casoc=1c=1, multiplicar por un denominador común, y obtener una solución entera de a,ba,b y cc. En genral, soluciones enteras de ecuaciones homogéneas se corresponden con soluciones racionales de la versión no homogénea, que es una dimensión inferior.

Continuando: ¿de qué grado es la ecuación? El grado es la mayor potencia de cualquier término, donde “término” es un producto de variables cuya potencia es el número de variables multiplicadas. Por ejemplo, si tienes a2bc4a2bc4, es un término de grado 7=2+1+47=2+1+4.

Las ecuaciones diofánticas se comportan de manera muy distinta según el grado. A grandes rasgos:

• El grado 11 es fácil
• El grado 22 está resuelto, y normalmente se puede resolver con técnicas elementales
• El grado 33 es un gran océano de profunda teoría y un millón de problemas abiertos
• El grado 44 y superior… Muy, muy difícil.

Estamos en grado 3.3. ¿Por qué? Sencillamente multiplica por los denominadores:

a(a+b)(a+c)+b(b+a)(b+c)+c(c+a)(c+b)=4(a+b)(a+c)(b+c)a(a+b)(a+c)+b(b+a)(b+c)+c(c+a)(c+b)=4(a+b)(a+c)(b+c)

Incluso sin expandir todo explícitamente, puedes ver por qué es 33: nunca multiplicamos más de tres variables juntas. Tendremos cosas del tipo a3a3 y b2cb2c y abcabc, pero nunca nada con más de 33 unidades. Si realizas de hecho las operaciones, llegarás a que la ecuación es

a3+b3+c3−3(a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2)−5abc=0a3+b3+c3−3(a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2)−5abc=0.

Podrías objetar que multiplicar por los denominadores es ilegal si alguno fuera 00. Correcto, y de hecho la nueva ecuación tiene algunas soluciones que no valen para la original. Pero de hecho eso es bueno. La versión polinómica añade algunos “parches” a la original haciendo más fácil trabajar con ella; para cualquier solución particular que encontremos, simplemente debemos comprobar que no hace cero ninguno de los denominadores originales.

De hecho, la ecuación polinómica se resuelve fácilmente, por ejemplo, a=−1a=−1, b=1b=1, c=0c=0. Esto es bueno: tenemos una solución racional, o un punto racional. Esto significa que nuestra ecuación cúbica (grado 3) es una curva elíptica.

Cuando descubres que tu ecuación es una curva elíptica A) te regocijas y B) caes en la desesperación, porque hay tanto que aprender. Esta ecuación es un gran ejemplo de cómo la poderosa teoría de curvas elípticas se puede aplicar para descubrir soluciones tremendamente difíciles de encontrar.

Lo primero que haces con una curva elíptica es ponerla en la forma de Weierstrass. Sería una ecuación de la forma

y2=x3+ax+by2=x3+ax+b

o a veces

y2=x3+ax2+bx+cy2=x3+ax2+bx+c (esta es la llamada forma larga de Weierstrass. No es estrictamente necesaria, pero a veces es útil).

Es un hecho básico que cualquier curva elíptica se puede poner de esta forma (excepto si trabajas en campos de característica pequeña, que no es el caso). Me llevaría una respuesta entera explicar cómo encontrar la transformación. Simplemente has de saber que es un proceso mecánico (se basa en que tenemos al menos un punto racional, y lo tenemos). Hay varios paquetes de álgebra computacional que lo hacen por ti.

Pero incluso si no sabes cómo encontrar la transformación, verificarla es fácil – o, al menos, mecánico. En nuestro caso la transformación necesaria viene dada por estas fórmulas intimidantes:

x=−28(a+b+2c)6a+6b−cx=−28(a+b+2c)6a+6b−c

y=364(a−b)6a+6b−cy=364(a−b)6a+6b−c

Sé que parece como un vudú aleatorio, pero créeme que no lo es. Una vez que tienes las transformaciones, un cálculo tedioso pero directo confirma que

y2=x3+109x2+224x(2)(2)y2=x3+109x2+224x

Esta ecuación, aunque parece muy distinta, es realmente un modelo fiel de la original. Gráficamente, tiene este aspecto – una curva elíptica típica con dos componentes reales:

La “cola de pez” en la derecha crece indefinidamente. La curva ovalada cerrada de la izquierda es, eso, cerrada, y resulta que aquí es donde está lo divertido, para nosotros.

Dada una solución (x,y)(x,y) de la ecuación, puedes obtener los deseados a,b,ca,b,c usando

a=56−x+y56−14xa=56−x+y56−14x

b=56−x−y56−14xb=56−x−y56−14x

c=−28−6x28−7xc=−28−6x28−7x

(Recuerda que el triplete (a:b:c)(a:b:c) debe ser entendido proyectivamente – cualquier valor que obtengas de esas ecuaciones, siempre lo puedes multiplicar por una constante arbitraria).

Los dos mapas mostrados de a,b,ca,b,c a x,yx,y y vice versa, muestran que estas dos ecuaciones son “la misma” en lo que a teoría de números respecta: soluciones racionales de una te dan soluciones racionales de la otra. El término técnico es birational equivalence, y es un concepto fundamental en geometría algebraica. Como hemos dicho, podría haber puntos que no mapean correctamente; Son casos donde a+b,a+ca+b,a+c o b+cb+c resultan ser 00. Esto es perfectamente normal en estos casos y no debería preocuparnos.

Veamos un ejemplo.

La curva elíptica (2) tiene un bonito punto racional: x=−100x=−100, y=260y=260. Quizás no es sencillo de encontrar, pero es muy fácil de verificar: Simplemente sustituye esos valores y comprueba que ambos lados son iguales (no elegí este punto al azar, pero sigamos por ahora). Podemos comprobar rápidamente qué valores de a,b,ca,b,c resultan. Tenemos

a=2/7,b=−1/14,c=11/14a=2/7,b=−1/14,c=11/14

y ya que podemos multiplicar por un denominador común, podemos obtener

a=4,b=−1,c=11a=4,b=−1,c=11.

Y de hecho,

4−1+11+−14+11+114−1=44−1+11+−14+11+114−1=4

como se puede ver fácilmente. Esta es una simple solución a nuestra ecuación original en enteros, pero ah! – no enteros positivos. Esta solución no es fácil de ver a mano, pero tampoco es difícil de encontrar con algo de paciencia sin toda la parafernalia que estamos tratando aquí. Las soluciones positivas son las que causan problemas.

Ahora, en el momento que tienes un punto racional en una curva elíptica, como P=(−100,260)P=(−100,260) en la nuestra (2), puedes empezar a generar otros usando la técnica de la cuerda y la tangente.

Para empezar, podemos sumar nuestro punto PP a sí mismo encontrando la tangente a la curva en PP, y viendo dónde cruza la curva de nuevo. El resultado es algo más intimidante:

P+P=2P=(8836/25,−950716/125)P+P=2P=(8836/25,−950716/125)

y de nuevo, este punto corresponde a valores de a,b,ca,b,c que resuelven nuestra ecuación original:

(a,b,c)=(9499,−8784,5165)(a,b,c)=(9499,−8784,5165).

Esta solución definitivamente no es fácil de encontrar a mano, pero aún sería realizable con un ordenador. Sin embargo, aún no es positiva.

Sin perder el ánimo, continuamos calculando 3P=2P+P3P=2P+P que se hace conectando PP y 2P2P con una recta y encontrando el tercer punto de intersección con la curva. Y otra vez, calculamos a,b,ca,b,c, y otra vez, el resultado no es positivo. Y lo mismo con 4P4P, 5P5P y así… hasta llegar a 9P9P.

9P=(-66202368404229585264842409883878874707453676645038225/13514400292716288512070907945002943352692578000406921,  
58800835157308083307376751727347181330085672850296730351871748713307988700611210/1571068668597978434556364707291896268838086945430031322196754390420280407346469) 

sin duda difíciles de encontrar, pero dada nuestra maquinaria, todo lo que tuvimos que hacer es repetir un procedimiento geométrico sencillo nueve veces. Los correspondientes valores de a,b,ca,b,c son asombrosos:

a=154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999,  
b=36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579,  
c=4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036 

Eso son números de 8080 cifras! No puedes encontrar números de 8080 cifras con un ordenador por fuerza bruta. Pero aunque parezca increíble, esos números gigantescos, sustituyendo en la expresión a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b), dan exactamente 44.

Esas son, de hecho, las soluciones más pequeñas al problema. Si seguimos añadiendo el punto PP los denominadores siguen creciendo. No es fácil demostrar eso, ya que siempre cabe la posibilidad de que se cancele algo, pero la teoría de alturas en una curva elíptica nos permite mostrar que esos números astronómicos son, de hecho, los más pequeños que son solución a la pregunta.

De vuelta a la teoría. Una curva elíptica en racionales tiene un rango, que es el número de puntos que necesitamos para empezar con la técnica de cuerda y tangente y saber que acabaremos encontrando todos los puntos racionales en la curva. Nuestro caso concreto (2) tiene rango 1, lo que significa que tiene infinitos puntos racionales, pero todos se generan con uno, que no es otro que nuestro punto P=(−100,260)P=(−100,260). Los algoritmos para calcular el rango y encontrar el generador son de todo menos triviales, pero SageMath (ahora llamado CoCalc) lo hace en menos de un segundo, usando unas pocas líneas de código. Puedes ver mi código aquí. Construye la solución desde cero, pero obviamente usando los métodos incluidos en Sage para lidiar con curvas elípticas.

En nuestro caso, el punto PP se encuentra en la parte oval de la curva, y lo mismo para los puntos mPmP para cualquier natural impar mm. Más o menos recorren la curva y la recubren uniformemente. Esto es afortunado, porque sólo una pequeña fracción del óvalo da soluciones positivas en términos de a,b,ca,b,c: es la parte negrita en la siguiente figura, tomada del artículo de Bremner y MacLeod.

Los puntos P,2PP,2P etc. no están en la parte negrita, pero 9P9P sí, que es cómo encontramos nuestras soluciones de 80 cifras.

Bremner y MacLeod estudiaron lo que pasa si sustituyes el 44 por otra cosa. Si crees que nuestras soluciones son grandes, espera a ver lo que pasa cuando intentas representar 178178 de esta manera. En vez de 80 cifras, necesitarás 398,605,460 cifras. Sí, ese es el número de cifras en la solución. Si pruebas 896896, te vas a billones de cifras. Billones. Para esta inocua ecuación:

a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)=896a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)=896.

Este es un sorprendente ejemplo de cómo ecuaciones diofánticas con coeficientes pequeños pueden tener soluciones enormes. No es simplemente asombroso, es profundo. La solución negativa al décimo problema de Hilbert implica que el crecimiento de las soluciones según los coeficientes crecen es una función no computable, ya que si lo fuera, habríamos tenido un simple algoritmo para resolver ecuaciones diofánticas, y no lo hay (simple o complejo). Aquí, la correspondencia 4→4→ 80 cifras, 178→178→ cientos de millones de cifras y 896→896→ billones de cifras nos permite atisbar los primeros pasos de esa monstruosa función no computable. Ajusta los números en tu ecuación, y las soluciones rápidamente exceden cualquier cosa que quepa en tu pequeño universo.

Que ecuación maravillosamente engañosa.