Si construyó la función logaritmo a partir de f(ab) =f(a) +f(b), entonces ¿dónde entra la noción de la base?

A2A*. Me encanta la pregunta. Primero investiguemos un poco la ecuación funcional de partida:

f(ab)=f(a)+f(b)f(ab)=f(a)+f(b)

si asumimos que esta función está definida sobre un dominio de los números reales que incluye al 11 sabemos que necesariamente f(1)=0f(1)=0, ya que:

f(1⋅1)=f(1)+f(1)⇒f(1)=2f(1)⇒f(1)=0f(1⋅1)=f(1)+f(1)⇒f(1)=2f(1)⇒f(1)=0

Sin embargo no existe una única función ff con esas propiedades. Si asumimos que la función sea diferenciable entonces necesariamente f(x)=logαxf(x)=logα⁡x. Ver esto no es muy complicado, pero al mostrarlo se ve donde aparece la “noción de base”. Vamos a ello poniendo b=xb=x y derivando, se llega a la siguiente relación:

af′(ax)=0+f′(x)af′(ax)=0+f′(x)

Si en esta última relación ponemos a=1/xa=1/x llegamos a que:

f′(1)x=f′(x)f′(1)x=f′(x)

Como sabemos que f(1)=0f(1)=0, integrando tenemos que:

f(x)=f′(1)∫x1dx¯x¯=f′(1)lnxf(x)=f′(1)∫1xdx¯x¯=f′(1)ln⁡x

Cada posible elección del valor numérico f′(1)f′(1) nos da una base diferente. En particular escogiendo f′(1)=1/lnαf′(1)=1/ln⁡α, la solución a tu ecuación funcional es:

f(x)=logα(x)=lnxlnαf(x)=logα⁡(x)=ln⁡xln⁡α

Esto muestra que las diferentes bases aparecen, porque la ecuación funcional de partida es satisfecha por todas las funciones logaritmo y cada elección posible de la derivada de la función en 1, f′(1)f′(1) te proporciona una base diferente, que legítimamente es una solución de tu ecuación funcional (añadiendo la hipótesis de que ff es una función real de variable real que además sea diferenciable, claro!)