¿Por qué al multiplicar dos números negativos obtenemos un número positivo?

ha dado un respuesta natural e intuitiva justificando la regla (recomiendo leer su respuesta, porque es muy ilustrativa). Igualmente se puede demostrar asumiendo la propiedad distributiva de la suma respecto a la multiplicación: a(b+c)=ab+aca(b+c)=ab+ac (y otras propiedades formales), sin necesidad de apelar a la intuición, lo cual es un ejercicio interesante.

Voy a dar una demostración formal sin apelar a la naturalidad o a la intuición, para mostrar que la regla de los signos es la única posibilidad compatible con las otras propiedades más intuitivas de la suma y la multiplicación. Pero para ello necesito probar primero dos cosas simples:

1. Que a⋅0=0a⋅0=0, asumiendo que 0 es el elemento neutro de la suma y la distributividad que mencioné, sin ninguna otra hipótesis o apelación a la lógica o la intuición.
2. Que (−1)⋅a=−a(−1)⋅a=−a, es decir, que -1 multiplicado por un número da el elemento opuesto (el que sumado a un elemento da cero).

Vamos con el primer hecho. Por la definición de elemento neutro de la multiplicación 1⋅a=a1⋅a=a, entonces puede escribir formalmente:

a+a⋅0=1⋅a+0⋅a=(1+0)⋅a=1⋅a=aa+a⋅0=1⋅a+0⋅a=(1+0)⋅a=1⋅a=a

En el tercer paso he usado la propiedad distributiva, y luego una vez más la idea de que 0 es elemento neutro de la suma. Dado que el elemento neutro de la suma es único, la única posibilidad es que a⋅0a⋅0 sea 0 ya que al sumar ese número a aa, vuelve a dar el mismo.

Vamos con el segundo hecho. Ahora sumamos (−1)⋅a(−1)⋅a con aa:

a+(−1)⋅a=1⋅a+(−1)⋅a=(1+(−1))⋅a=0⋅a=0a+(−1)⋅a=1⋅a+(−1)⋅a=(1+(−1))⋅a=0⋅a=0

Dado que el elemento opuesto de la suma (el que debemos sumar a un elemento para que nos dé 0 es único), debemos concluir que (−1)⋅a=(−a)(−1)⋅a=(−a).

Vamos ahora con el asunto buscado. Demostraremos primero que (−1)(−1)=1(−1)(−1)=1, para ello consideremos el segundo hecho demostrado (−1)⋅a=−a(−1)⋅a=−a, pero tomaremos a=−1a=−1, esto nos dice que: (−1)⋅(−1)=−(−1)(−1)⋅(−1)=−(−1) y dado que el opuesto sumativo de -1 es precisamente 1 tenemos que (−1)⋅(−1)=1(−1)⋅(−1)=1. Para el último paso requeriremos además el hecho de que la multiplicación por definición es conmutativa y asociativa:

(−a)⋅(−b)=(−1⋅a)⋅(−1⋅b)=(−1)⋅a⋅(−1)⋅b=((−1)⋅(−1))⋅a⋅b=1⋅(⋅a⋅b)=a⋅b(−a)⋅(−b)=(−1⋅a)⋅(−1⋅b)=(−1)⋅a⋅(−1)⋅b=((−1)⋅(−1))⋅a⋅b=1⋅(⋅a⋅b)=a⋅b

Mi respuesta no pretende apelar a la intuición o la naturalidad, porque mi objetivo ha sido simplemente probar que el que el producto de números negativos sea positivo es consecuencia necesaria de las otras propiedades de la suma, con independencia de si eso parece o no intuitivo (en matemáticas, finalmente, no importa si algo parece intuitivo o no, sino si puede ser demostrado usando rigurosamente las reglas de deducción).