¿Cada una de las dos cadenas complementarias del ADN lleva el mismo mensaje biológico?

No, la ARN polimerasa (o complejo de la ARN polimerasa) solo copia la secuencia de la cadena codificante. Usaré la siguiente imagen para explicarlo:

Lo importante de la imagen es explicar el sentido de las cadenas. La cadena de ADN que corresponde a la secuencia del gen (y del ARN mensajero resultante) es la de arriba y que en la izquierda tiene un 5′ (se lee “cinco prima”) y en la derecha un 3′ (se lee “tres prima”). A la cadena de arriba, 5′ -> 3′ se le llama cadena codificante y a la de abajo 3′ <- 5′ cadena plantilla.

Entonces, la ARN polimerasa, avanza de 5′ -> 3′ de acuerdo a la cadena codificante, y utiliza la secuencia de la cadena plantilla para hacer una copia idéntica de la cadena codificante. Es decir, la ARN polimerasa solo avanza de 5′ -> 3′ respecto a la cadena codificante.

Ahora bien, sabemos que las secuencias de la cadena codificante y cadena plantilla son complementarias, pero eso no significa que tienen la misma secuencia, solo significa que por cada A en una cadena en la otra hay una T, por cada T en una cadena en la otra hay una A, por cada C en una cadena en la otra hay una G y que por cada G en una cadena en la otra hay una C.

Algo importante es que las dos cadenas pueden ser cadena codificante o cadena plantilla, pero no pueden jugar el mismo rol al mismo tiempo.

Por ejemplo:

Tenemos las dos hebras de ADN, a una llamaremos cadena A y a otra cadena B.

Suposición 1: el gen X se codifica en la cadena A. Entonces para el gen X la cadena A es la cadena codificante y la cadena B es la cadena plantilla.
Suposición 2: el gen Y se codifica en la cadena B. Entonces para el gen Y la cadena B es la cadena codificante y para cadena A es la cadena plantilla.

Fuente de la imagen: File:Simple transcription elongation1.svg