¿Por qué no es posible crear una torre lo suficientemente alta sobre el ecuador de algún planeta de tal forma que su punta, por la rotación del...

Esta es una pregunta bastante complicada.

Empecemos calculando algunas cosas.

La velocidad de la luz en el vacío, c, es aproximadamente:
300 000 km/s

Veamos el caso del Planeta Tierra:
la velocidad angular en la Tierra es aproximadamente 1 vuelta al día.
En realidad no es eso, es una vuelta cada “día sidéreo”, no cada “día” (día solar).
Con la velocidad angular podemos calcular la velocidad lineal.
La longitud de la circunferencia es 2∗π∗R2∗π∗R y se recorrería esa distancia en un día.

Si la punta supera la velocidad cc quiere decir que:

v=2∗π∗R24 horas>300000km/sv=2∗π∗R24 horas>300000km/s

24 horas son: 24*60 minutos = 24*60*60 segundos = 86400 segundos

R>300000km/s∗86400s2∗3.1416=4.12∗109kmR>300000km/s∗86400s2∗3.1416=4.12∗109km

Como mínimo, debe ser el “Radio” de giro o “altura” de la torre:

R = 4.12 * 10^12 m

Eso son más de 4 billones de metros, es decir, 4 millones de millones de metros.
Esto son 4 120 000 000 000 m.

Una UA (Unidad Astronómica), que es la distancia media de la Tierra al Sol, son unos 150 000 millones de metros.

El número de UA que mediría ese “radio” de giro serían:
(4120 / 150) UA = 27.47 UA

Consultando datos veo que la distancia de Neptuno al Sol son unas 30 UA, así que el radio sería cercano a eso. No llega, pero se acerca mucho. Desde que Plutón ya no se considera planeta, Neptuno es el planeta más lejano al Sol del Sistema Solar.

PROBLEMAS.

Primer problema:
Resistencia de materiales y similares.

Cuando se construye un edificio los arquitectos tienen que diseñarlo para que soporte el peso… Hasta donde yo se eso lo hacen o bien haciéndolo muy ancho y/o con unos cimientos profundos y/o con materiales que aguanten más. O una combinación de esos factores.
Típicamente los rascacielos más altos tienen estructura metálica, de acero… porque aguanta más. Aunque los más altos de todos suelen ser delgaditos por arriba y anchos por abajo, ya que la base es la que tiene que aguantar más peso.
Creo que es obvio que si haces el edificio con papel y poco ancho en la base entonces cuando llegas a cierta altura se viene abajo, por su propio peso. Un papelito no aguanta cientos de kilos encima… se arruga.

Entonces, sí o sí usarías materiales como acero ¿o quizá grafeno?

Supongamos que usas acero. El acero tiene una densidad de unos 7 Kg por litro. = 7 Kg / (dm)^3
Eso quiere decir que si la sección del “cable” / viga de acero es de 1 dm^2 entonces cada dm de largo tiene una masa de 7 Kg y cada metro serán 70 Kg.
Si son 4 millones de millones de metros serían 70*4 * 10^12 kg. = 2.8 * 10^14 kg.
Esto es 280 000 000 000 000 kg.

Aún así sería una pequeñita fracción de la masa de la Tierra, que son 6* 10^24 kg.

De todas formas, a mi me parece obvio que una viga tan “alta” (larga) con ese grosor no aguantaría…

Es cierto que según se “asciende”, eso significa alejarse del centro del planeta, y, por tanto, que la gravedad o ‘peso’ sea menor. Pero, aún así… el edificio más alto del mundo, el Burj Khalifa, en Dubai, tiene una altura de 828 metros.
Llegar a la altura del monte Everest, es decir, más de 8000 metros, ya sería un gran logro de la ingeniería. Eso son 8 km.
No hace falta decir lo complicado que sería salir de la Troposfera (20 km), la Estratosfera (50 km) o incluso llegar al límite del Espacio Exterior, definido por la “línea de Karman”, a unos 100 km.
Recordemos que antes dijimos ¡¡4000 millones de kilómetros!!!

Según leo ahora, el límite de la atmósfera, definido por esa llamada “línea de Karman” a 100 km, está en una zona llamada Termosfera y eso de “termo” no es casual ya que ahí la temperatura crece con la altura, pudiendo llegar incluso a 1000 ºC

La temperatura de fusión del acero sería un poco más, más allá de 1300 ºC, pero cuando el acero se calienta se vuelve más “blando”… se tuerce más fácilmente.
Se suele decir que el acero estructural ‘colapsa a los 538 ºC’, y viendo gráficas, la resistencia efectiva se reduce a menos del 10% a 1000 ºC.

Segundo problema:
Más allá del cinturón de Clarke.

Como bien ha comentado hay un otro problema muy importante.
Arthur C. Clarke fue un escritor de ciencia ficción que escribió entre otras la novela “2001: una odisea espacial” en la que se basó la famosa película de Kubrick.
Resulta que Clarke inventó los satélites geoestacionarios, aquellos que se mantienen en una órbita que gira al mismo ritmo que la rotación de la Tierra, y, por tanto se mantienen “fijos” en el cielo, y se dice que son “geoestacionarios” (en una posición fija respecto a los puntos de la superficie de la Tierra) o “geosíncronos”. Esto permite entre otras cosas servir de punto fijo que transmite televisión a unas zonas de la Tierra y basta con enfocar bien una antena parabólica a un satélite para ver esos canales de televisión.
Pues bien, debido a su invento, se puso el nombre de “cinturón de Clarke” a los puntos a una distancia de 35786 km sobre el ecuador.
Órbita geoestacionaria - Wikipedia, la enciclopedia libre

En esos puntos la aceleración de la gravedad es justo la aceleración perpendicular a la velocidad (aceleración normal) necesaria para una órbita circular cuyo periodo sea un día sidéreo, es decir, el mismo periodo de giro que la Tierra.
Esto quiere decir que los objetos situados a esa distancia y que giran con la misma velocidad angular que la Tierra no tienen tendencia ni a acercarse más a la Tierra, ni a separarse más de ella…
A menor altura que eso, los objetos tendrían tendencia a caer (si van a una velocidad angular como la de la Tierra o menos) y a mayor altura que eso, los objetos tendrían una tendencia a seguir con su velocidad y separarse cada vez más de la Tierra.

Por tanto, en el caso de la torre, ocurriría que a partir de esa altura las partes de la torre más que tener tendencia a “caer” tendrían tendencia a separarse de la Tierra, como si tuviesen un peso negativo, a escaparse por el espacio.

Por ejemplo, ocurriría que si la torre mididiese 36786 km, dejando aparte la complicación de hacer algo así, un objeto que se colocase por encima de esa altura sin sujeción alguna a la torre se iría separando de la torre y del planeta Tierra.
Si se fuesen añadiendo piezas de acero soldadas al resto de la torre lo que ocurriría es que cuanto más alto las colocamos, con más fuerza intentarían separarse…

En resumen, si no se rompió colapsando por su propio peso antes de esta altura (cosa complicada que no ocurriese) sería mucho más probable que se rompiese por la parte alejada de la Tierra.
En puntos muy alejados esa fuerza o tendencia a separarse del planeta sería gigantesca… una fuerza de tracción que ningún material podría soportar sin romperse.

Tercer problema:
Conservación del momento angular.

Cuando un bailarín o bailarina de patinaje artístico extiende los brazos su velocidad angular se reduce.
Esto significa que si llevamos mucha masa del Planeta Tierra a cierta altura ya no daría una vuelta cada 24 horas, sino que tardaría más en dar una vuelta.
Y si tarda más, lo que llegó a esa distancia de casi Neptuno no iría a la velocidad de la luz… tendrías que hacer la torre más larga / alta…

Aunque la masa de la “torre” podría ser menos de una millonésima de la masa de la Tierra, el Momento de Inercia aumenta con el cuadrado de la distancia.
Un bailarín que gira en un eje vertical con los brazos pegados al cuerpo tiene un Momento de Inercia pequeño porque las masas están cerca del eje de giro. Si los brazos pesan 4 Kg al separarlos medio metro sería una suma al momento de inercia de 4 Kg * (0.5 m)^2 = 1 Kg * m^2
(se multiplica por la distancia al cuadrado).
Pero cuando estaban pegados al cuerpo el Momento de Inercia era:
4 Kg * (20 cm)^2 = 4 Kg * (0.2)^2 m^2 = 0.16 Kg * m^2
que es la sexta parte de lo anterior.
El momento de inercia del resto del cuerpo, sin los brazos podría ser:
70 Kg * (0.1)^2 m^2= 70 / 100 = 0.7 Kg*m^2
Antes de extender los brazos: 0.7 + 0.16 = 0.86
Después de extender los brazos: 0.7 + 1 = 1.7
(aproximadamente el doble de momento de inercia)

Y con el doble de momento de inercia la velocidad angular ¡¡baja a la mitad!

Nótese que con una pequeña parte de la masa, si se separa mucho, la velocidad angular baja bastante!
Si además de los brazos, separa las piernas la velocidad angular baja aún más.
Y, bueno, supuse 20 cm de distancia al eje de giro para todo el cuerpo, pero parte del cuerpo estaría en el eje de giro y en esa parte el momento de inercia sería nulo.

Esbocemos algunos cálculos para el caso de la torre que dice la pregunta.

No pretendo hacer cálculos exactos.

En el caso de la Tierra girando es una masa de 6* 10^24 Kg, que tirando por lo alto estaría como mucho separada del eje de giro una distancia del radio de la Tierra.
Eso son : 6* 10^24 Kg * (6000 Km)^2 = 6^3 * 10^30 Kg * km^2 = 2.16 * 10^32 Kg*km^2

La ‘viga’ calculé que pesa 2.8 * 10^14 Kg
Pero está a una media de 2*10^12 m de distancia.
(nota: los momentos de inercia no se calculan con la media… haciéndolo bien saldría más, esto es tirando por lo bajo)

2.8 * 10^14 Kg * (2*10^9 km)^2 = 2.8 * 4 * 10^(14+18) = 1.12 *10^33 kg*km^2
Esto significa que el momento de inercia con esa torre es más de 5 veces el de toda la Tierra. Lo que quiere decir, que la ‘Tierra bailarina’, al extender tanto los ‘brazos’, aunque pesen tan poquito esos ‘brazos’, disminuye su velocidad angular a la sexta parte…
Esto significa que el “día” en la Tierra duraría 144 horas, en lugar de 24 horas (suponiendo que no se ha roto esa torre, como dije en puntos anteriores).

Entonces, para llegar a la velocidad de la luz tendría que extender más los ‘brazos’ (la torre), unas 6 veces más, pero entonces al multiplicar por 6 el radio, el momento de inercia se hace 36 veces mayor y tendría que extenderlos más y más… y nunca llega, lo que hace es frenarse más y más…
Si la torre se hace cada vez más y más alta, la Tierra gira cada vez más lenta, y nunca el extremo llega a la velocidad de la luz.

Sí, una “torre” tan tan alta FRENARÍA LA ROTACIÓN DE TODO EL PLANETA TIERRA, aunque la masa de esa torre fuese una pequeña fracción de la masa de toda la Tierra.

Se supone que este efecto sería menor si la torre fuese muy muy poco pesada, pero en ese caso parece claro que “se rompería”, dejaría de estar girando solidariamente con la Tierra.

Cuarto problema:
Relatividad.

El tiempo es relativo.
Desde el punto de referencia de la azotea de la torre, la velocidad a la que se mueve esa azotea, ese extremo de la torre, es velocidad cero, ya que ahí parece estar quieto.
Sin embargo, desde la Tierra podría parecer que ese extremo va muy rápido.
Pero el tiempo en la Tierra no es igual que el tiempo en el extremo de la Torre. Además, si estamos en la superficie de la Tierra en el ecuador el extremo de la Torre parecería estar quieto también. Para notar que se mueve tendríamos que estar quizá en el Polo Norte, o en el Sol.
También habría un retardo desde que la luz impacta en ese extremo y se refleja para verlo en la Tierra pasarían 1 día entre 2*PI, unas 6 horas.
Suponiendo una torre perfectamente recta, parecería que está torcida.

Quinto problema.
Energía necesaria.

¿Cuánta energía se necesita para elevar la masa que dije a la altura que dije?
Calculemos.
La energía necesaria sería el trabajo y el trabajo es fuerza por desplazamiento.
Habría que sumar muchas fuerzas ejercidas a unidades de masa que se desplazan una distancia… siendo la fuerza en cada distancia al menos la que venza la gravedad que hay a esa distancia.
Al final habría que hacer una integral que se simplifica con la energía potencial…
A un distancia Rt del centro de la Tierra la Energía Potencial es mucho menor que a una distancia mucho mayor.
La energía potencial con origen en el infinito sería una cantidad negativa proporcional a la inversa de la distancia. A una gran distancia sería casi 0 pero en la superficie de la Tierra sería una cantidad negativa importante.

Vamos a calcular la integral que da la Energía Potencial.

Según ley de gravitación universal de Newton:
F=G∗M∗mx2F=G∗M∗mx2

Y sumaríamos pequeñas cantidades de trabajo según avanzamos una pequeña distancia ‘diferencial de x’ = dx, y eso es una integral:

Ep=∫G∗M∗mx2dx=−G∗M∗mx+KEp=∫G∗M∗mx2dx=−G∗M∗mx+K

Cuando x es muy grande: esa energía potencial sería casi 0
(al menos despreciable en comparación con una x mucho menor)
Pero cuando x es el radio de la Tierra RTRT sería:

Ep=−G∗M∗mRTEp=−G∗M∗mRT

Y el trabajo desde ahí, desde ese potencial hasta potencial 0 sería la variación de la Energía Potencial, la resta entre la de arriba y la de abajo:

0−[−G∗M∗mRT]=+G∗M∗mRT0−[−G∗M∗mRT]=+G∗M∗mRT

Sería:
Energía = 6.67 * 10^(-11) N * m^2 / Kg^2 * 6*10^24 Kg * 2*10^14 Kg/ (6 * 10^6 m) =
= 2*6.67 * 10^(38–17) N*m = 13.34 * 10^21 J = 1.3 * 10^22 J
Dividiendo entre 3600 tenemos W*h (vatios multiplicado por hora)
= 3.7 * 10^18 W*h = 3.7 * 10^15 KWh

El KWh se cobra en España a unos 13 céntimos de euro = 0.13 Euros.

3.7 * 10^15 KWh costarían más de 4*10^14 euros… es decir, 400 billones de euros.
400 000 000 000 000 Euros.
El precio de la compañía Amazon, la que tiene mayor precio total de todo mundo son 0.8 billones de dólares, unos 0.7 billones de euros. Así que sería más de 560 veces eso.
Sería como más de 25 veces el PIB de Estados Unidos. Lo que significa que EEUU tendría que estar más de 25 años produciendo solamente para pagar la energía que costase eso.
Obviamente el coste no es solamente la energía.
2*10^11 toneladas de acero también cuestan lo suyo
a 400 euros la tonelada, serían
8*10^13 euros = 80 billones más (un 20% más)

Y creo que es claro que la sección que dije de la viga es birriosa para esa longitud.

10 cm de ancho en una longitud de 4*10^12 m es bastante absurdo.

Si un cable da una vuelta a la Tierra = 40 000 Km = 4 * 10^7 m
El ancho de ese cable sería, dividiendo por 4*10^13 de 10^-5 m… es decir, de un grosor de 10 micras. Imaginad un cable tan fino lo que tardaría en romperse y si encima pedimos que se sostenga en vertical soportando su peso y la gigantesca fuerza que la hace tender a separarse, a evitar esa “rotación”, entonces ya es demasiado.
Aún así el coste en energía y materiales sería gigantesco.

Para hacer que algo se desplace a velocidades cercanas a las de la luz es mucho más barato un LHC, es decir, el Gran Colisionador de Hadrones, el famoso acelerador de partículas, el cual costó unos 3000 millones de euros, incluyendo presupuesto para experimentos y energía.
El LHC fueron 3 000 000 000 euros.
La torre: 480 000 000 000 000 euros, que es 150 000 veces el LHC.

Total, todo ese dinero para una torre que se rompería, y que en caso de no romperse frenaría la rotación de la Tierra y nunca llegaría a la velocidad de la luz.

Otros problemas.
Seguramente me dejé algunos importantes, pero creo que con lo dicho sirve para hacerse una idea.

Supongo que los problemas que se ven más claros son el del cinturón de Clarke y el la conservación del momento angular.