Si en un tiro vertical lanzamos una pelota hacia arriba con una velocidad apenas inferior a la velocidad orbital, ¿caería hacia el mismo punto de...

Analizaremos el problema de lanzar una bola que llegue a la altura de la Estación Espacial Internacional (Aprox. 400 km). Supondremos que se lanza la bola desde el ecuador con suficiente velocidad para alcanzar cerca de 400 km de altura. Es decir, la lanzamos verticalmente con una velocidad VIVI así:

Vamos a establecer un sistema de coordenadas plano con centro en el polo Norte. Esta sería la vista desde la estrella Polar:

La pelota se lanza verticalmente con una velocidad inicial VIVI

Pero, como la pelota está en el ecuador, la rotación terrestre le imparte una velocidad tangencial hacia el este, que llamaremos VTVT

Esto significa que, aunque le lanzamos verticalmente, la pelote tendrá una trayectoria de esta forma, vista desde la estrella Polar:

En conclusión, una pelota lanzada verticalmente en el ecuador se desplaza hacia el este respecto a un sistema de coordenadas fijo debido a que tiene un componente transversal de la velocidad debido a la rotación terrestre.

Pero hay que tomar en cuenta que mientras la pelota sube y baja, la Tierra va rotando hacia el este, y, dependiendo de si la pelota tarda mucho en subir y bajar, puede aterrizar hacia el este o el oeste del punto geográfico inicial desde donde se lanzó.

Como la pelota no se desvía mucho en la dirección este de su posición original, podemos hacer una aproximación de la Tierra como si fuera plana, y usar las ecuaciones de tiro parabólico. La otra aproximación que haremos es que la gravedad es constante. Como sabemos, la gravedad depende del cuadrado de la altura, así que habrá una disminución de 11 % de su valor entre la superficie terrestre y los 400 km de altura hasta la que subirá la pelota (63782/67782=0,8963782/67782=0,89).

Para que la pelota llega a 400 km de altura es necesario lanzarla a 2715m/s2715m/s aprox. Esta es la velocidad vertical de lanzamiento. La velocidad horizontal o tangencial es

VT=2∗π∗RT/PVT=2∗π∗RT/P;

donde R_T es el radio de la Tierra y P es el período de rotación.

En tiro parabólico el tiempo de vuelo de un proyectil es:

TV=2VIgTV=2VIg

Durante ese tiempo el cuerpo se desplazará hacia el este la distancia

d=VTTVd=VTTV

Pero la Tierra se desplaza también en dirección este la misma cantidad:

d=VTTVd=VTTV

Así que el cuerpo cae sobre el mismo sitio.

La simplificación que hicimos de la Tierra plana y gravedad constante nos da que el cuerpo cae en el mismo sitio geográfico. Sin embargo, como sabemos la gravedad va disminuyendo con la altura. Eso hace que el tiempo de vuelo del objeto en realidad sea mayor que cuando la gravedad es constante, por lo que la Tierra se habrá desplazado más hacia el este, y, finalmente, el cuerpo caerá en un sitio ubicado al oeste de la posición original. Las ecuaciones generales del movimiento gravitatorio no tienen una expresión general para lo que queremos calcular, pero usando métodos numéricos podemos calcular los valores deseados. Usando el programa mencionado en esta respuesta en Quora EN:

hemos comprobado que efectivamente el objeto cae al oeste del sitio de donde partió.