¿Por qué no se difunde un mapamundi con las dimensiones reales de los países?

Como ya dijeron y no hay una solución perfecta de un mapa plano del mundo, del planeta Tierra, que es casi esférico.

Sin embargo, aún sabiendo con seguridad que no existe una solución perfecta quisiera añadir algunas soluciones aproximadas que me parecen muy interesantes, especialmente en relación con lo que plantea la pregunta.

Primero recordemos cuál es el problema de hacer mapas.
Cuando se trata de hacer un mapa, que es una superficie plana de 2 dimensiones, lo que nos gustaría es que ese mapa tuviese unas características similares a la superficie que representa.

En particular, nos gustaría:

1. que se mantuviesen las áreas,
2. que se mantuviesen las geodésicas o líneas de camino mínimo entre 2 puntos, que en navegación las llaman ‘ortodrómicas’
3. que se mantuviesen las distancias
4. que se mantuviesen los ángulos

Y conseguir todo eso es imposible.
Esto se explicó en el famoso blog matemático Gaussianos, en el año 2013 [1] [2] donde se habló de la curvatura de Gauss y del famoso Teorema Egregium [3] (que significa “Teorema Destacable”) .
Y también en 2009 sobre diferentes proyecciones o formas de hacer mapas. [4]

Pero la pregunta parece preocuparse especialmente por las áreas, ya que la pregunta habla de “dimensiones de países” y lo que “mide” un país en un mapa se entiende que es la superficie o área.
Recordemos que el Teorema Egregium se refiere a isometrías [5], es decir, transformaciones que conservan las distancias, y seguramente también puedan conservar las formas o ángulos (conforme), pero dicho teorema no se refiere a las áreas.

Una de las proyecciones más conocidas, llamada Mercator, distorsiona bastante las áreas, sobre todo en ciertas partes del planeta… Aunque a cambio mantiene algunas geodésicas en líneas como los meridianos, líneas que siguen el camino mínimo en dirección Norte-Sur, sin desplazamientos ni a Este ni a Oeste. Y también mantiene razonablemente bien algunas formas o ángulos (ej: los ángulos entre cada meridiano y cada paralelo son rectos en la proyección, igual que los ángulos reales de la superficie esférica).
Tiene una gran importancia en navegación ya que las loxodrómicas [6], que son rumbos que se marcan con brújula desde antaño (a un mismo ángulo respecto al Norte que marca la brújula), corresponden a líneas rectas en el mapa…
Estas rutas que son rectas en el mapa de Mercator no son óptimas, no van por geodésicas (que en navegación se llaman ortodrómicas) con forma de arco de un círculo máximo, sino que tienen forma de espiral hacia uno de los polos. Pero lo óptimo para llegar a un polo es “todo al Norte” o “todo al Sur” (por los meridianos, que son círculos máximos, y, por tanto, geodésicas) lo cual prueba que son caminos más largos, pero al menos, se podían planificar en el mapa cuando no había ordenadores ni GPS.
Sin embargo, en aviación intentan ir por ortodrómicas, por el camino más corto (aunque creo que a veces prefieren un camino ligeramente más largo si tiene mejor viento de cola que permita ahorrar combustible) y por eso usan otros mapas o ‘cartas de navegación’ donde las ortodrómicas sean rectas.
¿Por qué se usa tanto Mercator? Básicamente por tradición, por su importancia en navegación, desde el siglo XVI (son muchos siglos de tradición) y por ser mapas con forma rectangular y bastante intuitivos.

Entonces, pensando en una proyección que sea más equitativa con las áreas, no es difícil acordarse de los poliedros regulares, los cuales tienen caras planas todas iguales y dichas caras se distribuyen de forma muy equitativa en el espacio. Además, los poliedros regulares tienen lo que se llama un “desarrollo” [7] sobre un plano, que es lo que permitiría dibujarlo sobre un papel y cartón, estando las caras planas adyacentes y luego recortando y doblando se puede transformar lo que era un dibujo en un papel en un poliedro en el espacio tridimensional.

Ese sería el desarrollo de un dodecaedro.
Sin embargo, observamos que muchas de las caras pentagonales quedan separadas en el plano de otras caras que en el espacio son más cercanas. Digamos que en ese caso deja muchos huecos (en el plano). Pero hay más poliedros regulares.

Observamos que el más interesante para nuestro propósito es el icosaedro regular, que consta de 20 caras triangulares, cuyo desarrollo no presenta muchos huecos entre caras, tiene una estructura como de baldosas que rellenan todo el plano, lo que técnicamente se llama una teselación o teselado del plano.
Además, el icosaedro regular es el poliedro regular “más esférico” [8] , entendiendo por eso aquel que tiene una superficie menor para un volumen dado.

Proyectando el mapa esférico en las caras del icosaedro obtendríamos un mapa en el poliedro, que podríamos llevar a un plano mediante el desarrollo de dicho icosaedro.

Al buscarlo encontré estos:

y ese último girado y con más detalle:

Lógicamente el mapa no es perfecto… Por ejemplo, puede observarse que los meridianos (líneas que unen los polos) al pasar de una cara triangular a otra cambian ligeramente de dirección, luego no son rectas perfectas sino algo parecido a una sucesión de segmentos rectos con inclinación cambiante.

Nótese también que en ese mapa algunos triángulos fueron divididos en partes, para no trocear la Antártida, ni Australia, etc.

Pero me parece una aproximación muy interesante por varias razones:

1. En cada cara triangular del icosaedro las áreas son iguales independientemente de la zona del planeta que sea. No hay unas zonas de la Tierra que vean su área amplificada o disminuida más que otras sino que todas las zonas de cada triángulo corresponde a una misma superficie de la esfera.
   Ahora bien, dentro de cada triángulo sí hay distorsiones. En el centro de un triángulo el área sería menor, ya que esos centros de las caras están más cercanos al centro de la esfera (y una esfera de radio menor tiene área menor) mientras que en las partes cercanas a los lados de cada triángulo (aristas y especialmente los vértices del icosaedro) las áreas serían mayores, ya que están más alejados del centro de la esfera.
   Se podría decir que es bastante “equiárea”, “equivalente” o “auténtica”. [9]
2. en cuanto a las geodésicas, se da la interesante propiedad de que dentro de una cara triangular muchas de ellas son rectas o casi rectas… Sería el caso de los meridianos, desviándose del camino recto al cambiar de una cara a otra. Y aunque no sean meridianos, cuando un camino por geodésica que no sea muy largo se mira “desde arriba”, como sería la visión de una cara triangular del icosaedro, se ve bastante recto, incluso en los polos.
   Se podría decir que es bastante “gnomónica” [10] , al menos dentro de cada triángulo y especialmente para distancias no muy grandes.
3. en cuanto a las distancias se mantienen también bastante bien.
   Se podría decir que es bastante “equidistante”. [11]
4. también mantiene razonablemente bien los ángulos y las formas, excepto en la transición de un triángulo a otro, donde los ángulos se desvían un poco.
   Se podría decir que es bastante “conforme”. [12]

En resumen, el desarrollo del icosaedro no cumple de forma perfecta ninguna de las 4 propiedades pero creo que tampoco defrauda ninguna de ellas de una forma exageradamente grave.

En el caso particular de las áreas, ya que la pregunta dice “dimensiones de los países”, creo que cumple bastante bien.

Y no solamente encontré que esos mapas existen sino que tienen un nombre: se llaman mapas Dymaxion o ‘proyección de Fuller’ y fueron inventados por Buckminster Fuller [13], el cual los patentó en 1946. Aunque originalmente usó un poliedro no regular llamado cuboctaedro.

Ese sería el mapa Dymaxion original, de la patente de 1946, como cuboctaedro.

Y en 1954 usó el icosaedro, que serían los mapas anteriores. Supongo que una de las razones por las que originalmente usó el cuboctaedro podría ser que no requería dividir/trocear ninguna de las caras… permitía representar todos los continentes íntegros y las caras del poliedro íntegras también, lo cual hacía todo más ‘bonito’.

El icosaedro puede verse también en este GIF animado.

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bb/Dymaxion_2003_animation_small1.gif

El nombre Dymaxion fue utilizado por Fuller para muchas de sus invenciones y significa “Dynamic Maximun Tension” (Máxima tensión dinámica), un concepto al parecer relacionado con estructuras arquitectónicas para cúpulas y estructuras similares.

Y, claro, para cada poliedro regular habría un mapa de la Tierra.
Bienvenidos al mundo de los mapas poliédricos o proyecciones poliédricas.

En concreto, otro mapa poliédrico interesante sería el Mapa de Mundo Mariposa de Waterman (del año 1996).

Sí, eso que parece una mariposa se trata del desarrollo de un octaedro.
Y uno similar anterior a ese fue el de Cahill de 1909

Y tiene una versión con caras más triangulares donde los meridianos son rectas perfectas. Sería una proyección gnomónica.

Pero ahí no acaban las maravillas fascinantes que encontré. Lo último que encontré fue el AuthaGraph [14], creado en 1999 por el arquitecto e ingeniero estructural Hajime Narukawa, que además es admirador de Fuller.
El mapa AuthaGraph se trata de una proyección que se apoya en el tetraedro regular y su desarrollo para hacer un mapa, que, además, dado que el desarrollo de un tetraedro regular puede tener forma de triángulo equilátero puede repetirse todo el desarrollo junto a otros y repetirse en forma de teselación en el plano. Sencillamente espectacular.
No solamente eso, sino que parte de un poliedro de 96 caras triangulares y a la hora de proyectar sobre el tetraedro regular lo hace reduciendo la distorsión en lo posible y conservando las áreas. El “Autha” de su nombre viene de “authalic”, que significa “equiárea”, “auténtico”. Así que es posible que sea de los mejores a la hora de reflejar las áreas fielmente.

Además el mapa del globo se puede llevar tanto a un triángulo equilátero como a un rectángulo. Y se puede transformar uno en otro a base de mover unas partes del mapa, lo cual es facilitado por el hecho de poder teselar el plano.

En el año 2016 ganó el premio Good Design.
Pero tampoco nos engañemos, como dije al principio es imposible que ningún mapa sea perfecto y, lógicamente, este tampoco lo es: aunque sea fiel a las áreas o incluso aunque las formas de los continentes sean bastante fieles, las posiciones relativas pueden ser un poco extrañas, y las distancias entre algunas zonas son exageradas. Véase la separación entre la Antártida y Australia, por ejemplo, o entre Groenlandia y Reino Unido. Tampoco los meridianos son rectos, no es gnomónico.
Pese a mi entusiasmo inicial, ahora no me acaba de convencer tanto.

Además, ya existía uno teselable, la proyección Peirce Quincuncial [15]

Volviendo a los poliedros y las áreas, había dicho que el icosaedro sería el poliedro regular que mejor se aproxima a una esfera…
Entonces me planteé lo siguiente… Vale, el icosaedro regular se acerca a la esfera, pero ¿no podemos acercarnos más? Está claro que con poliedros regulares no. ¿Qué tal si intentamos con poliedros irregulares? Hay otros poliedros que se acercan más a la esfera, como las cúpulas geodésicas de Buckminster Fuller, alias “Bucky” para los amigos (a estas alturas ya es como de la familia). Esas cúpulas tienen multitud de caras triangulares que al estar muy cerquita de la esfera el error en cuanto a áreas, distancias, ángulos y demás sería muy pequeño en cada cara. En lo referente a áreas la fidelidad sería muy grande. El mayor fallo imagino que es para las geodésicas, que en el plano serían muchos segmentitos rectos que cambiarían frecuentemente de dirección convirtiéndose en algo similar a curvas.

Esta imagen es el pabellón americano diseñado por ‘Bucky’ para la Expo 67 en Montreal, Canadá.
Cómo no, una “Buckyball” (Buckybola, o bola de Bucky).
Quizá más sorprendente es que estructuras como estas se encuentran en la naturaleza, a modo de estructuras estables formadas por átomos de carbono, y que fueron bautizadas como “fullerenos”, en honor a Fuller, aunque también se llama a estas moléculas “buckyballs”.
Por todo esto soy muy fan del señor Fuller, todo un gran genio que une arte, matemáticas, ingeniería y naturaleza.

Pero otro problema que veo, en este caso de posibles mapas inspirados en Buckyballs, es que el desarrollo en el plano de dichos poliedros sería algo similar a un fractal (con una frontera larga llena de pequeños recovecos o dientes), como en desarrollo del dodecaedro que puse antes. A diferencia del icosaedro donde las caras forman una teselación en el plano uniéndose unas con otras y pudiendo pasar de un triángulo a cada uno de los otros tres que hacen frontera, en el caso de otros desarrollos de poliedros (dodecaedro regular o las estructuras de Fuller) no habría tanta “conexión” o cercanía entre caras cualesquiera. Así que a pesar de tener una gran fidelidad en cuanto a áreas, la utilidad como “mapa” plano es mucho más dudosa.

Cuando busqué esos planos de tipo icosaedro regular me alegré de encontrarlos y me parecieron muy interesantes, tanto por las propiedades que dije antes como por el hecho de que sea fácilmente convertible a poliedro 3D.
Por eso me extrañó un poco no haber visto antes más mapas de ese estilo, que tiene que ver justo con lo que plantea la pregunta.

¿Por qué no usa mucho esta proyección? Supongo que hay varias razones:

• desde la falta de tradición (Mercator tiene casi 500 años),
• pasando por el hecho de que Norte y Sur no están “arriba” y “abajo” respectivamente… lo cual no solamente va contra la costumbre y la intuición general de las personas sino que dificulta ver gráficamente información importante como aspectos climáticos (en el ecuador hace calor y en los puntos más cercanos a los polos hace más frío, etc)
• o que Este y Oeste no se ven intuitivamente, lo cual es importante para ver gráficamente la noción de los husos horarios
• porque no es rectangular y, por tanto, no aprovecha bien las formas estándar para difundir imágenes, como libros, televisores, paredes, pantallas de ordenador / tableta / teléfono.
• porque unas zonas aparecen muy separadas de otras, lo cual va contra la intuición de distancias y de posición relativa de los lugares
• no es muy útil para aplicaciones prácticas, como la navegación… salvo en distancias cortas, pero para distancias cortas no usas un mapa como este de todo el planeta Tierra.

Entonces, si esa tiene tantos inconvenientes ¿no hay otras?

El caso es que si se buscan otros mapas o proyecciones del globo terráqueo se encuentran muchas. [16]

Por ejemplo, las llamadas “soluciones de compromiso” [17] serían como la de Fuller del icosaedro en el sentido de que no cumplen perfectamente ninguna de las propiedades pero se acercan de forma razonable a todas ellas.
Entre ellas destacaría la de Winkel tripel, que es la oficial de National Geographic desde 1998.

Creo que las mayores distorsiones de esta se producen arriba (ej: Groenlandia) y especialmente abajo (Antártida), pero tiene un aspecto bonito y se comporta bastante bien en las zonas menos heladas y más habitadas del planeta.
Aparte del aspecto bonito, suple muchos de los inconvenientes del mapa Dymaxion: se ve gráficamente el Norte, Sur, Este y Oeste, y se ven las posiciones relativas y, más o menos, las distancias. Flaquea en tradición y su utilidad para rutas / navegación.
La palabra “tripel” de su nombre es una palabra alemana que significa “triple”, quizá eso lo conozcan los cerveceros, y se refiere a que buscó comportarse bien en 3 aspectos: área, distancias y direcciones (ángulos/formas)… Y creo que lo consigue bastante bien.

Antes National Geographic usaba la Robinson, y antes de 1988 la Van der Grinten, que son similares, de estilo cuasielíptico la primera y circular la segunda, lo que los hacía un poco más distorsionados.

En cuanto a las que mantengan las áreas se encuentran algunos casos más. Se conocen como “equiárea” o “equivalentes”, por mantener las áreas razonablemente bien. Y hay unas cuantas [18]

Tenemos, por ejemplo, una de tipo equiárea que es la Proyección Homolosena, o Proyección de Goode [19] (no de Google, jejeje, no confundamos… Google tiene una propia, una adaptación de Mercator).

Se puede observar que, aunque mantenga las áreas, el peor fallo sería con las distancias (no es equidistante) y también distorsiona las formas/ángulos (no es conforme). Tampoco sería gnomónica, ya que los meridianos no son rectos, sobre todo en los laterales y en las partes inferior y superior resultan muy curvos.
Como dice XKCD, es como si hubieran pelado una naranja y aplanado la cáscara xDDD. ¿Verdad que tú también pensaste eso? Al menos yo sí.

Tenemos también otra equiárea que es la llamada proyección elíptica, de Mollweide [20] :

Aunque esta sea equiárea, no es conforme ni gnomónica. Australia, por ejemplo, aparece bastante deformada (por tanto, no conforme, no conserva ángulos), aunque mantenga un área realista. Y no es gnomómica porque los meridianos son elipses (no rectas).
Como curiosidad, es la usada para representar la radiación cósmica de fondo de microondas [21], lo que se suele llamar “el ‘eco’ del Big Bang”.

Y, por último, una tercera equiárea es la de Gall-Peters [22] , que mencionó :

En esta se ven los meridianos como líneas totalmente rectas verticales, así que se podría decir que es gnomónica. También es bastante conforme en los ángulos que forman meridianos con paralelos. aunque no tanto en las formas cercanas a los polos. No es equidistante: se puede ver porque el ancho no es el doble que el alto, como debería ser, ya que el ancho es la longitud del ecuador y la distancia de un polo a otro debe ser aproximadamente la mitad que eso, o menos. Por eso se ven los territorios como alargados o estirados en vertical, como si lo hubiese pintado El Greco. Esto implica también que no es conforme en ángulos inclinados, y por eso sale deformado. Por esa deformación a mi no me gusta mucho.

Esta otra se llama Plate Carrée (“cuadrado plano”, en francés), que es el caso más normal de Proyección Cilíndrica Equidistante [23], o también llamada Equirectangular. Es similar a la anterior pero sin estirar:

En esta se puede observar que no está tan estirado y el largo es el doble que el alto, lo que es acorde con su nombre: equidistante, mantiene las distancias. Pero tanto la Antártida como Groenladia aparecen demasiado grandes, lo cual deja en evidencia que no es equiárea. Tampoco es conforme, pero sí sería gnomónica.
Es sencilla de hacer y es una de las más antiguas, del año 120, inventada por un griego llamado Marino de Tiro, precursor de Ptolomeo.

Por otro lado, salvando las distancias, el problema me recordó un poco al famoso problema milenario de la cuadratura del círculo, que se acabó demostrando que era imposible. Obviamente ese es otro problema muy diferente…

Bonus:

Genial viñeta de XKCD sobre Mapas de la Tierra.
Según el mapa que prefieres Randall te dice tu personalidad.
xkcd: Map Projections

¡Qué tío! Conmigo lo ha clavado, excepto que no uso teclado Dvorak.

Se puede ver también la explicación de esa viñeta:
977: Map Projections

Para quien quiera más, aquí un artículo de El País:

Todos los mapas que conoces están mal

Notas al pie