Si lanzas un dado entre 1001 y 1331 veces, sumas los números que obtuviste y obtienes 6938, ¿el dado ha sido alterado?

Un dado tiene valores de 1 a 6
Así que si lo lanzas 1001 veces el valor máximo que puede dar es 6006.

En caso de lanzarlo 1331 el valor máximo sería 7986. En este caso obtener 6938 entraría dentro de lo posible, pero muy improbable.

Debido a que salen muchos casos imposibles, asumiré que la pregunta se refería a 2 dados en cada tirada.

Según el Teorema del Límite Central, o Teorema Central del Límite, cualquier variable aleatoria sumada a otras independientes entre sí, tiende a una gaussiana, también conocida como Distribución Normal.
Entonces, si son un número grande de tiradas independientes, y más de 1000 es un número grande, se puede aproximar por una gaussiana, también conocida como Distribución Normal.

¿Cuál sería la media?
La media de la suma será la suma de las medias…
Si son N tiradas y cada una tiene una media de 7, la media o valor esperado de la suma será N*7.
En el caso del problema, esta media estaría entre:
1001*7 = 7007
y
1331*7 = 9317

¿Cuál es la varianza de una tirada y la desviación típica?

Una tirada de 2 dados es una variable discreta con los siguientes valores de probabilidad:

2 → 1/36
3 → 2/36
4 → 3/36
5 → 4/36
6 → 5/36
7 → 6/36
8 → 5/36
9 → 4/36
10 → 3/36
11 → 2/36
12 → 1/36

Se puede comprobar que 2*(1+2+3+4+5)+6 = 36

La varianza es la media de los cuadrados de las diferencias respecto a la media.

(2 * 5^2 + 4*4^2 + 6*3^2 + 8 *2^2 + 10*1^2 + 6*0^2 )/36 = 5.833

Y la desviación típica es la raíz cuadrada de eso:

2.415

La desviación típica de la suma de N variables sería N veces la desviación.

1001*2.415 = 2417
1331*2.415 = 3215

Por tanto, con 1001 tiradas, sería bastante “normal” que la suma quedase entre:
7007–2417 = 4590
y
7007+2417 = 9424

Con 1331 tiradas, sería bastante “normal” que la suma quedase entre:
9317 -3215 = 6102
y
9317+3215 = 12532

En ambos casos 6938 está entre los límites y en los casos intermedios también estaría. Así que es un resultado que está dentro del rango que se daría muchas veces, más del 66% de las veces sin estar trucados los dados.

Si realmente la pregunta se refería a tirar un dado y no dos dados por tirada:
entonces hasta 1156 tiradas es imposible, ya que 1156*6 = 6936,
que es menor que 6938
A partir de 1157 no es imposible pero para algunos valores es muy improbable…

Calcularé lo improbable que sería con 1331 tiradas.

La media de un dado es 3.5
Con 1331 tiradas, el valor esperado es 1331*3.5 = 4658.5

Y la varianza:
[2*(2.5)^2 + 2*(1.5)^2 + 2*(0.5)^2 ]/6 = 2.9166

Y la desviación típica:
1.7078

multiplicando por 1331:

2273

Y dentro de un sigma, el intervalo sería entre:

4658.5 - 2273 = 2385.5
y
4658.5 + 2273 = 6931.5

Como 6938 está fuera de esos valores entonces no sería un valor que ocurriría muchas veces sin estar trucado el dado… Aunque tampoco sería un valor tan extraño. Se sale un poco de lo ‘habitual’ pero no mucho…

¿Por debajo de qué número de tiradas el 6938 se sale 2*sigma?

Un sigma sería:

N*3.5 + 1.7078*N = 6938

N = 6938/(3.5 + 1.7078) = 6938/5.2078 = 1332

Dos sigma sería:

N*3.5 + 2* 1.7078*N = 6938

N = 6938/(3.5 + 2*1.7078) = 6938/6.9156 = 1003

El problema es que 2 sigma es 3.4 y si se suma 3.4 a la media da 7 y no puedes tener un 7 en el dado… Así que aunque en teoría se aproxima por una gaussiana o tendería a gaussiana en el infinito, pues en la práctica hay un límite, hay valores que no se pueden alcanzar.

Con un dado la media esperada para 1331 tiradas es:
1331*3.5 = 4658.5

Y 6938 no ocurriría con frecuencia… ocurriría menos del 33% de las veces.

Por tanto, apostaríamos a que el dado fue alterado.