¿Qué significa N-1 en una varianza de muestra?

Una propiedad importante en un estimador es el valor esperado del mismo. Se denomina sesgo de un estimador a la diferencia entre dicho valor y el verdadero valor del parámetro a estimar. Es deseable que un estimador sea insesgado, es decir, que su sesgo sea nulo por ser su esperanza igual al parámetro que se desea estimar.

Por lo tanto, si tenemos una variable aleatoria X y su varianza está dada por la fórmula:

σ^2=1N−1∑Ni=1(Xi−μ^X)2σ^2=1N−1∑i=1N(Xi−μ^X)2

Este estimador posee un factor de escalado igual a 1N−11N−1, denominado corrección de Bessel. En el caso de que las muestras sean independientes entre sí, este factor permite obtener un estimador insesgado de la varianza.

La demostración se observa enseguida.

E[σ^2X]=E[1N−1∑Ni=1(Xi−μ^X)2]E[σ^X2]=E[1N−1∑i=1N(Xi−μ^X)2]

=1N−1E[∑Ni=1(Xi−μX+μX−μ^X)2]=1N−1E[∑i=1N(Xi−μX+μX−μ^X)2]

=1N−1E[∑Ni=1(Xi−μX)2−2(μ^X−μX)∑Ni=1(Xi−μX)+∑Ni=1(μ^X−μX)2]=1N−1E[∑i=1N(Xi−μX)2−2(μ^X−μX)∑i=1N(Xi−μX)+∑i=1N(μ^X−μX)2]

=1N−1E[∑Ni=1(Xi−μX)2−2(μ^X−μX)N(∑Ni=1XiN−μX)+N(μ^X−μX)2]=1N−1E[∑i=1N(Xi−μX)2−2(μ^X−μX)N(∑i=1NXiN−μX)+N(μ^X−μX)2]

=1N−1E[∑Ni=1(Xi−μX)2−2N(μ^X−μX)2+N(μ^X−μX)2]=1N−1E[∑i=1N(Xi−μX)2−2N(μ^X−μX)2+N(μ^X−μX)2]

=1N−1E[∑Ni=1(Xi−μX)2−N(μ^X−μX)2]=1N−1E[∑i=1N(Xi−μX)2−N(μ^X−μX)2]

=1N−1{∑Ni=1E[(Xi−μX)2]−NE[(μ^X−μX)2]}=1N−1{∑i=1NE[(Xi−μX)2]−NE[(μ^X−μX)2]}

En el primer término de la ecuación anterior se encuentra la fórmula analítica para la varianza de una variable aleatoria, mientras que en el segundo término, encontramos la varianza del estimador de la media. En el caso de variables independientes e idénticamente distribuidas este último término es σ2XNσX2N. Por lo tanto:

E[σ^2X]=1N−1(∑Ni=1σ2X−Nσ2XN)=1N−1(Nσ2X−σ2X)=σ2XE[σ^X2]=1N−1(∑i=1NσX2−NσX2N)=1N−1(NσX2−σX2)=σX2.

De esta manera, cuando se emplea la corrección de Bessel para la estimación de la varianza muestral, nos estamos asegurando que dicho estimador sea insesgado, es decir que no tenga sesgo nuestra estimación.