De una urna llena de gran cantidad de bolas, cuya composición ignoro, voy sacando bolas sin reemplazamiento, y todas salen blancas. Cuando sólo...

[07/07/2020… Añado cosas]

Yo creo que SI nos dice algo…

Imaginemos 10 bolas, todas blancas menos una (una NO es blanca).

¿Cual es la probabilidad de que la bola NO blanca, NO haya salido en la primera extracción?… Ni en la segunda, ni en las sucesivas:

(9/10)x(8/10)x(7/10)x…x(1/10)=0,1

¿Cual era la probabilidad de quedar última (sin extraer) la NO blanca? Pues será 1/10=0,1… Igual que antes.

Esa es la probabilidad de que NO sea blanca. Hasta ahí llegamos.

Y si gran cantidad es 1000 bolas…. 1/1000 probabilidades de NO ser blanca.

¿Seguimos?

Al finalizar el experimento: No extraemos la última bola. Ergo no sabemos si es blanca o NO. Volvemos a meter las bolas en la urna. Y repetimos el experimento.

Supongamos que nuevamente, queda un bola y todas las extraídas han sido blancas.

Ahora, después de este segundo experimento, lo que sabemos es que la probabilidad de NO ser blanca una de las 10 bolas, es de (1/10)*(1/10)= 1/100.

Podemos repetir hasta que en términos de probabilidad, podremos afirmar, con un alto grado de confianza que todas las bolas son blancas. O afirmar con toda certeza que hay una de color "NO blanca" (si se digna a aparecer).

Concreto un poco mas: Para 10 bolas, repetir el experimento 6 veces, y observar que 6 experimentos, a 9 extracciones por cada experimento, nos ha mostrado 54 bolas blancas… nos permite afirmar:

• Que todas son blancas con la confianza de 999.999 de entre 1.000.000.
• Que la bola oculta NO es blanca sólo tiene una probabilidad de 1 entre 1.000.000.

Una pregunta inoportuna: ¿Podríamos llegar a la misma conclusión sin necesidad de extraer 54 bolas?

Pues…. con una alta probabilidad SI.

Con la confianza de 999.999 entre 1.000.000 podemos afirmar que necesitaremos menos de 54 extracciones.

Tenemos Plan-B.

Imaginemos ahora el problema/experimento de 10 bolas, desde el supuesto de que todas son blancas.

Realizamos la primera experiencia… Vemos 9 bolas blancas. La décima, la misteriosa, tiene la probabilidad de ser NO blanca: 1/10.

Sin mirar su color, cambiamos la bola misteriosa por una bola blanca marcada.

Nos quedan 5 experimentos mas.

En el segundo experimento del plan-B. La blanca marcada nos sale en la tercera extracción. Así las cosas este experimento ya ha acabado. No hace falta seguir, las que quedan son todas blancas. Comparado con el Plan-A en el que siempre necesitábamos 9 extracciones, el Plan-B, en esta ocasión, ha requerido sólo 3 extracciones.

Y así en el 3º, 4º, 5º y 6º.

Para Plan-B, los 6 experimentos requerirán:

• menos de 34 extracciones en la mitad de las ocasiones.
• mas de 47 extracciones en un 1%.
• mas de 50 solo en 1 de cada 1.000

Esto me recuerda la anécdota de que viajaban por Inglaterra tres amigos (uno "de letras", otro ingeniero y un matemático). Desde el tren, mirando el paisaje, comenta uno: "Mira! En Inglaterra las vacas son negras". Otro corrige: "En Inglaterra una vaca es negra". Y el tercero dice: "En Inglaterra hay al menos una vaca y la mitad es negra".