Si las 3 dimensiones principales son “largo”, “ancho” y “profundo”, ¿cuál es la 4ta?

Matemáticamente la respuesta es trivial: todas las dimensiones son mutuamente ortogonales. Si tenemos dos, podemos visualizar un vector cualquiera dibujado sobre un papel, y otro perpendicular a él, también sobre el papel. Si tenemos tres, podemos visualizar los dos anteriores y un tercero que sale del papel hacia arriba (o hacia abajo). Si tenemos cuatro nos basta con imaginar un cuarto perpendicular simultáneamente a los tres anteriores.

No debe inconmodarte el hecho de que no seas capaz de imaginarlo. Se debe a una causa bien conocida: vives en 3D, tu cerebro es 3D y tus pensamientos son 3D. Lo único que debes hacer es imaginarte que puedes trascender esa condición. y postular que hay efectivamente un cuarto vector perpendicular a los tres anteriores.

Una vez que este pensamiento no te sea especialmente violento, nada te impedirá trabajar con vectores de 4, 5 ó 78 dimensiones.

En matemáticas trabajamos con ellos sin ningún problema. De hecho, hacemos cosas bastante peores: trabajar con vectores de infinitas dimensiones sin que nos tiemble el pulso. Lo difícil es dar con imágenes del asunto, que es lo que habitualmente se pide. Los espacios de Hilbert, por ejemplo, están formados por vectores infinitodimensionales.