]?

Ojalá se conociera una respuesta que proporcionara un método general, como aquí se pregunta: es tremendamente difícil, y probablemente imposible en muchísimos casos, ver una serie de potencias (que son las más "dóciles", desde luego más que las de Fourier) y demostrar que la función que representa es periódica.

Parece que la pregunta se limita al campo real (algo sugerido de manera tácita por la x, ya que en el campo complejo -seguramente- se habría escrito z para la variable).

Sin embargo, en este caso particular, sí que se puede, con bastante trabajo, demostrar que es una función periódica la del ejemplo que se propone, y además demostrarlo sin mencionar para nada el coseno, ni la trigonometría ni nada parecido.

En efecto, tomemos la función: C(x) = ∑ (-1) ᵏ x² ᵏ / (2k)!, donde el índice k varía desde cero hasta infinito, como en los siguientes sumatorios que dependan de k, salvo advertencia expresa en contrario. Supongamos que no sabemos nada de esa función: lo primero será averiguar su dominio de definición, es decir, para qué valores reales de x está definida, o sea, cuál es el intervalo de convergencia de la serie:

1-x²/2!+x⁴/4!-x⁶/6!+…

Evidentemente, para x=0, la serie converge, pues todas sus sumas parciales valen 1, y en consecuencia, es C(0)=1.

Suponiendo que sea x≠0, se observa que cada término de la serie tiene grado par, luego si la serie converge para un valor de x, igualmente converge para el valor opuesto, -x ; y obviamente, converge hacia la misma suma. De modo que la función C(x), cuyo dominio buscamos, es par.

Así, supongamos entonces, sin perder generalidad, x>0, siendo x fija. Mediante los criterios de convergencia puede verse que la serie converge sea cual sea el valor positivo de x, por ejemplo, por la Regla de Leibniz para las series alternadas, dado que a partir de cierto índice k, tanto

[ x² ᵏ+1 / (2k+1)! ] : [ x² ᵏ / (2k)! ] como

[ x² ᵏ / (2k)! ] : [ x² ᵏ⁻¹ / (2k-1)! ] son menores que 1, concretamente, cuando 2k+1>x, desde ahí en adelante, los valores absolutos de los cocientes de un término entre el anterior son menores que 1, lo que indica que los valores absolutos de los términos de la serie, desde cierto índice en adelante, son decrecientes; también su límite es cero, puesto que, cuando n→∞, se tiene:

Lím x² ⁿ⁺¹ / (2n +1)! = Lím x² ⁿ/ (2n)! =0,

debido al conocido hecho de que el factorial crece más deprisa que la exponencial real de base positiva.

Al converger la serie para todo valor positivo o nulo, por ser par converge para cualquier valor negativo, de modo que para cualquier valor real de x, fijo respecto a n, la serie converge. Como ∑ xⁿ/ n! (desde n=0 hasta ∞) es absolutamente convergente [ fácil de probar directamente, pero además puede verse en todos los textos sobre series, en concreto, puesto que se trata de la archiconocida función exponencial real f(x) = exp(x) = ∑ xⁿ/ n! (desde n=0 hasta ∞) ],

en resumen, la serie C(x) converge (absolutamente) en toda la recta real.

Además, sabemos que (teorema general sobre series de potencias):

en todo punto interior al intervalo de convergencia, la serie es una función continua y aún más, es derivable, como si fuera un polinomio (de grado infinito), esto es, podemos derivar término a término y obtenemos otra función:

C'(x)= -x+x³/3!-x⁵/5!+…

Llamemos S(x) a la función definida en toda la recta real por la serie de potencias:

S(x) = x-x³/3!+x⁵/5!-…, de modo que tenemos:

C'(x)= -S(x), o bien, abreviando la notación, y derivando sucesivamente (término a término):

C'= -S → C''=-C → C'''=S → C ᴵⱽ = C. En adelante se repetirán periódicamente los valores de las derivadas, de 4 en 4 pasos.

Análogamente, S'= C → S''=-S → S'''=-C → S ᴵⱽ = S.

También vemos que C es par y S es impar, porque todos los exponentes de la serie que la define son impares. Luego C(-x)=C(x) y S(-x)=-S(x).

Si empleamos el desarrollo de Taylor, tenemos (puesto que ambas series convergen absolutamente):

C(x₁+x₂)= C(x₁)+[C'(x₁)/1!] x₂ + [C''(x₁)/2!] x₂²+…

Y a pesar del teorema de Riemann, que demuestra la asombrosa propiedad de que una serie condicionalmente convergente se puede reordenar de modo que la serie resultante tenga una suma prefijada o incluso sea divergente, aquí no tememos nada porque las series que manejamos permiten todas las reordenaciones que se desee sin cambiar su carácter (de ser convergentes) ni su suma, por ser absolutamente convergentes.

Por tanto, reordenando,

C(x₁+x₂)= C(x₁) [1-x₂²/2!+x₂⁴/4!-…]-S(x₁) [x₂-x₂³/3!+x₂⁵/5!-…], o sea:

C(x₁+x₂)= C(x₁) C(x₂) - S(x₁) S(x₂); y de manera dual, se deduce:

S(x₁+x₂)= S(x₁) C(x₂) + C(x₁) S(x₂), que son las fórmulas de adición.

Ahora, tomando x₂ = -x₁, deducimos que si x ∈ R → C(0)=C²(x)+S²(x), o sea,

C²(x)+S²(x) = 1.

También , sustituyendo en las fórmulas de adición x₁=x₂ = x,

C(2x)= C²(x) - S²(x)

S(2x)=2S(x)C(x).

A partir de aquí afrontamos el "desafío" de demostrar la periodicidad de la serie C(x) y ya de paso la de S(x). Veamos que C(x) se anula en algún punto, para lo cual nos sirve el teorema de Bolzano, siempre que encontremos dos valores en los que la función C tenga distinto signo:

Tenemos C(0)=1, positivo.

C(2) = 1–2²/2!+2⁴/4!-(2⁶/6!-2⁸/8!)-(2¹⁰/10!-2¹²/12!) - …, y si todos los paréntesis fueran positivos, tendríamos C(2) <1–4/2+16/24=-1/3 ¡Negativo!

Lo que necesitábamos, signos contrarios. Sin embargo hay que asegurarse de que todos los paréntesis (¡otra vez el infinito!) son positivos.

Pero 2ⁿ / n! - 2 ⁿ⁺² / (n+2)! = 2ⁿ / n! - [2ⁿ / n! ] *2²/ [(n+2)(n+1)] =

(2ⁿ / n! )* [1–4/(n²+3n+2) ] y evidentemente, siempre que sea n entero, n>0 ,

es n²+3n+2>4,

y el corchete es 1-(cantidad menor que 1), luego es positivo ¡afortunadamente!

De modo que, en efecto, C(0)>0 y C(2)<0.

Así que por ser C una función continua existe cierto número real θ, con 0<θ<2,

y tal que C(θ)=0. Definamos un número real, que llamaremos π, por medio de la igualdad π=2θ. Sabemos que 0<π/2<2→ 0<π<4.

Luego C(π/2)=0.

Ahora bien, la función S entre 0 y 2 es positiva, pues:

S(x)=x [1-x²/(2*3) ] + (x⁵/5!) [1-x²/(6*7) ] +…y si 0todos los corchetes consisten en la diferencia entre 1 y un nº menor que 1, pues x²<2*2 y los denominadores son 2*3, 6*7, etc. todos mayores que 2*2, como afirmábamos.

Pero como C'(x)=-S(x) y en el intervalo (0,2) hemos visto que S(x) es positiva, será C'(x)<0 para todo x ∈(0,2), de donde se sigue que C (x) es estrictamente decreciente en el intervalo (0,2), por ser negativa su derivada (consecuencia inmediata del teorema del valor medio). Así pues, C(x), en el intervalo (0,2), es inyectiva: solo puede anularse una vez, en π/2. De esta manera se ve que π/2 es el mínimo número real positivo que anula a C(x).

Como C²(x)+S²(x) = 1, sea cual sea x ∈ R, será: C²(π/2)+S²(π/2) = 1, y como

C(π/2)=0→ S²(π/2) = 1 → S(π/2) = 1, porque S(x) es positiva en (0,2), como hemos probado anteriormente.

De las fórmulas de duplicación, antes establecidas, deducimos:

C(π)=C²(π/2)-S²(π/2)=0–1=-1.

S(π)=2S(π/2) C(π/2) = 2*1*0=0. Y volviendo a duplicar:

C(2π)= C²(π)-S²(π) = 1–0=1

S(2π)= 2 S(π)C(π)= 2*0*(-1)=0.

Ahora, jugando un poco con las fórmulas de adición, para cualquier x ∈ R:

C(x+π/2) = C(x)C(π/2)-S(x)S(π/2)=0-S(x)=-S(x)

S(x+π/2) = S(x)C(π/2)+C(x)S(π/2)=0+C(x)=C(x)

C(x+π) = C(x)C(π)-S(x)S(π)=-C(x)-0*S(x)=-C(x)

S(x+π) = S(x)C(π)+C(x)S(π)=-S(x)+C(x)*0 =-S(x)

C(π-x) = C(π)C(x)+S(π)S(x)= -C(x)+0*S(x)=-C(x)

S(π-x) = S(π)C(x)-C(π)S(x)= 0*C(x)+1*S(x)=S(x)

Y, al fin,

C(x+2π)= C(x)C(2π)-S(x)S(2π) = C(x)*1-S(x)*0=C(x)

S(x+2π)= S(x)C(2π)+C(x)S(2π) = S(x)*1+C(x)*0=S(x).

O, en resumen,

C(x+2π)=C(x)

S(x+2π)=S(x), de manera que C(x) y su serie "gemela" S(x) son ambas funciones periódicas, de período 2π, C.Q.D.

De hecho, puede mostrarse que 2π es un período "primitivo" de estas funciones, en el sentido de que ninguna fracción propia de 2π puede ser un período de ellas.

Por las fórmulas anteriores queda claro que π no es un período, pues

C(x+π) =-C(x) y S(x+π)=-S(x). Y si n>2, la fracción 2π/n no puede ser un período, porque entonces sería S(2π/n)=S(0)=0, algo imposible, porque vimos que S(x) es positiva entre 0 y 2, y de hecho, como S(π-x) = S(x), es positiva entre 0 y π. Análogamente para C(x), 2π/n no puede ser un período de C(x).

Como se ve, si una función tan "agradecida" como la serie del coseno -o la del seno-, da este trabajo para probar que es periódica, imagínese en otros casos en que se quiera probar lo mismo y las series sean menos manejables, o menos simétricas…y aún sería peor si tratamos de demostrar que una serie como éstas C(x) y S(x) (series de potencias) es periódica y realmente la función no lo es: nunca encontraríamos la demostración de que lo es, y probablemente tampoco, en muchos casos, encontraríamos la prueba de que no es periódica…

Un asunto muy espinoso: al fin y al cabo, las series son los primeros algoritmos "trascendentes" que se conocieron, porque involucran el infinito, y conducen frecuentemente a números singulares (π, e, γ…números con "nombre propio"), muy a menudo desconocidos o de propiedades aritméticas demasiado profundas como la irracionalidad o la trascendencia.