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A2A*. Antes que nada deberíamos decir cuando sabemos que dos conjuntos de cosas son iguales SIN necesidad de contarlos. Pongamos que tengo dos bolsas de caramelos (una bolsa de caramelos de limón y otra de caramelos de fresa). Una manera de saber si hay el mismo número es la eliminación por parejas: tomo un caramelo de limón de una bolsa y uno de fresa de la otra, y los voy apartando, y repito el proceso unas cuantas veces pueden pasar dos cosas:

1. Se acaban primero los caramelos de limón y todavía me quedan caramelos de fresa por emparejar (esto significará que había más caramelos de fresa).
2. Se acaban primero los caramelos de fresa y todavía me quedan caramelos de limón por emparejar (esto significará que había menos caramelos de fresa).
3. Las dos bolsas se acaban al mismo tiempo, hasta que forma el último par de caramelo de limón y caramelo de fresa (esto significará que había igual cantidad de caramelos de fresa y limón)

Matemáticamente estoy emparejando caramelos es decir a cada caramelo de limón le hago corresponder uno de fresa E:L→FE:L→F (en el caso 1, la función EE es inyectiva o uno-uno, en el caso 2 la función EE es sobreyectiva y en el caso 3 la función EE es biyectiva). Esta idea puede extenderse a conjuntos infinitos sin problema.

Parte I
Para ver que NN y ZZ tienen la misma cantidad de elementos, tengo que construir un emparejamiento o función biyectiva ff, de tal manera que a cada número natural le corresponda 1 y sólo 1 número entero. Esto es muy fácil de hacer definiendo ff como:

f(2n)=n, f(2n−1)=−nf(2n)=n, f(2n−1)=−n

Es decir emparejo cada número par con su mitad, y a cada número impar lo emparejo con un negativo (le sumo 1 y hago su mitad cambiada de signo: 1↦−1,3↦−2,5↦−3,…1↦−1,3↦−2,5↦−3,…). Como este emparejamiento vale siempre, concluye que NN y ZZ tienen la misma cantidad de elementos. Esto sorprenden porque N⊂ZN⊂Z, pero res que resulta que un conjunto infinito siempre tiene subconjuntos propios, que resultan tener la misma cantidad de elementos (siempre es posible construir una función biyectiva de ciertos subconjuntos propios al total, algo que es completamente imposible en un conjunto con un número finito de elementos!)

Parte II
Para demostrar que NN, ZZ y QQ tienen la misma cantidad de elementos vamos de hablar de equivalencias. Si dados dos conjuntos AA y BB podemos definir una función inyectiva f:A→Bf:A→B decimos que el cardinal de BB es mayor o igual que el de AA (o que BB tiene un número de elementos mayor o igual que AA) y escribimos card(A)≤card(B)card(A)≤card(B). El teorema de Cantor-Bernstein-Schröder de hecho me garantiza que si tengo al mismo tiempo card(A)≤card(B)card(A)≤card(B) y card(B)≤card(A)card(B)≤card(A) entonces tengo que card(A)=card(B)card(A)=card(B).

Por construcción N⊂Z⊂QN⊂Z⊂Q, lo cual nos da card(N)≤card(Z)≤card(Q)card(N)≤card(Z)≤card(Q). De hecho usando el apartado anterior ya tenemos:

card(N)=card(Z)≤card(Q)card(N)=card(Z)≤card(Q)

Si nos las arreglamos para ver que también card(Q)≤card(N)card(Q)≤card(N) , por el teorema de Cantor-Bernstein-Schröder habremos concluido que card(Q)=card(N)card(Q)=card(N). Esto no es muy difícil de hacer para ello construiremos una función inyectiva h:Q→Nh:Q→N. Lo haremos en dos pasos primero construimos una función g:Q→N×Ng:Q→N×N de tal manera que si q=m/nq=m/n (tomando un mm y un nn sin factores primos comunes!) entonces g(q)=(m,n)g(q)=(m,n) y luego definimos otra función f:N×N→Nf:N×N→N dada por:

(m,n)↦(m+n)2+3m+n2(m,n)↦(m+n)2+3m+n2

No es evidente a simple vista pero esta función es también inyectiva [ver f:N×N→Nf:N×N→N(m,n)↦(m+n)2+3m+n2(m,n)↦(m+n)2+3m+n2]. Ahora consideremos la composición h=f∘gh=f∘g, está claro que al ser composición de funciones inyectivas, será inyectiva y h:Q→Nh:Q→N. Esto concluye que la demostración de que card(Q)=card(N)card(Q)=card(N). En términos de cardinales se define ℵ0:=ℵ0:= card(N)=card(Z)=card(Q)card(N)=card(Z)=card(Q) .

Parte III
Ahora nos falta probar de que no hay ninguna posiblidad de definir una función inyectiva k:Q→Rk:Q→R, esto fue demostrado por Cantor en 1873, en lo que conocemos como argumento de la diagonal de Cantor que básicamente viene a decir que si existiera la función kk incurríamos en una contraducción y, por tanto, dicha función no existe.

Esto implica que card(R)card(R) es un número infinito superior a ℵ0ℵ0. De hecho, definimos ℵ1=card(R)>ℵ0ℵ1=card(R)>ℵ0.