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Es un bonito ejemplo de aplicación de la propiedad telescópica de las sumas finitas:

[A(1)-A(2)]+[A(2)-A(3)]+…+[A(n-1)-A(n)]=A(1)-A(n)

[La suma es igual al primer término menos el último].

Se demuestra fácilmente por inducción, pues evidentemente, si solo hay dos corchetes, será [A(1)-A(2)]+[A(2)-A(3)]=A(1)-A(3), de acuerdo con la propiedad telescópica.

Suponiendo que sea cierta la propiedad para n corchetes, con n>1, probemos que se verifica también para n+1 corchetes:

[A(1)-A(2)]+[A(2)-A(3)]+…+[A(n-1)-A(n)]+[A(n)-A(n+1)]=[A(1)-A(n)]+[A(n)-A(n+1)]=

=A(1)-A(n+1), y se verifica la propiedad telescópica para n+1 corchetes, con lo cual queda probada por inducción para dos o más de dos corchetes.

La razón de que esa propiedad se llame así no la he visto en ningún sitio, pero supongo que es una manera intuitiva de expresar que los segundos términos de los corchetes se van cancelando con los primeros términos del siguiente, de manera que solo quedan "supervivientes" el primer término A(1) y el último, A(n). Y si se mira desde el primero A(1) con un telescopio se ve el último, A(n).

Ahora, en nuestro problema, tenemos: p(x)-p'(x)=x^n. El polinomio p(x) es de grado una unidad mayor que el grado de su derivada, por lo cual al restarse sobrevivirá por lo menos el término de mayor grado de p(x), es decir, la diferencia debe ser del mismo grado que p(x) y como esa diferencia es x^n, p(x) debe ser de grado n. Además, como no hay otro término más que x^n, éste debe ser el término principal (el de mayor grado) de p(x). Luego será p(x)= x^n+q(x), donde el grado de q(x) es menor o igual que n-1. Sabemos que la derivada n-ésima de x^n es n!, una constante. Y la derivada de cualquier polinomio, de orden mayor que su grado es cero (propiedad sencilla, puesto que en cada derivación disminuye en una unidad el grado del polinomio resultante, y si esto se hace tantas veces como su grado se obtiene una constante, que, derivada otra vez más da cero). De manera que será: Derivada n-ésima de p(x)=n!, pues todas las derivadas de q(x) de orden superior a su grado, n-1, son nulas.

Así pues, derivando n veces consecutivas los dos miembros de la identidad

p(x)-p'(x)=x^n, sale:

p'(x)-p''(x)=nx^(n-1),

p''(x)-p'''(x)=n(n-1)x^(n-2), etc, y la última [D^n representa la derivada de orden n]

D^n [p(x)]-D^(n+1) [p(x)]=n!, ya que la derivada de orden n+1 de p(x) es nula.

Sumando miembro a miembro todas estas igualdades, recordando la propiedad telescópica de las sumas finitas, la suma de los primeros miembros es "telescópica":

[p(x)-p'(x)]+[p'(x)-p''(x)]+…+[D^n (p(x))-D^(n+1) (p(x))]=S(x)+n!, donde S(x) es la suma de los segundos miembros desde la primera igualdad hasta la penúltima, que son todos monomios en x de grado mayor o igual que 1. Esto es, S(x)=x^n+nx^(n-1)+… Luego, en particular, S(0)=0.

Pero la suma telescópica es p(x)-D^(n+1) (p(x)) (el primer término menos el último). Además la derivada de orden n+1 de p es cero, por ser p de grado n. Luego la suma telescópica del primer miembro se reduce tan solo a p(x).

Hemos probado, por tanto, que p(x)=S(x)+n!. Cuando x toma el valor cero,

p(0)=n!, como se quería demostrar.