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Empecemos probando por inducción la conocida desigualdad:

[ (a+b)/2 ]ⁿ ≤ (a ⁿ + b ⁿ)/2, donde a y b son números reales, con a>b>0.

Esto se entiende más intuitivamente traduciéndolo a medias aritméticas:

La potencia n-ésima de la media aritmética de dos cantidades positivas es menor o igual que la media aritmética de sus potencias n-ésimas.

(Evidentemente, si fuera a=b en ambos miembros tendríamos aⁿ, y se daría la igualdad, por eso excluimos ese caso trivial).

Para n=0 es evidente, se da la igualdad, porque ambos miembros valdrían 1.

Para n=1 es una simple identidad, y se da la igualdad: (a+b)/2 = (a+b)/2

Para n=2, [ (a+b)/2 ]² = (a²+b²+2ab)/4; pero como (a-b)² = a²+b²-2ab>0, tendremos siempre que 2ab

que es lo que queríamos probar. Además, ya en el caso n=2 la desigualdad es estricta, siempre supuesto que a>b.

Supongamos ahora, para probar la desigualdad por inducción, que es cierta para un cierto valor de n, por ejemplo, para n=k>1, y probemos que también es cierta para el valor siguiente, n=k+1.

Por tanto, suponemos [ (a+b)/2 ]ᵏ ≤ (aᵏ + bᵏ)/2; multiplicando ambos miembros por (a+b)/2 (que es positivo) obtenemos otra desigualdad en el mismo sentido:

[ (a+b)/2 ]ᵏ⁺¹ ≤ [(a+b)/2] * (aᵏ + bᵏ)/2 = (aᵏ⁺¹+bᵏ⁺¹+abᵏ+aᵏb)/4.

Si pudiéramos ahora probar que, a su vez,

(aᵏ⁺¹+bᵏ⁺¹+abᵏ+aᵏb)/4 ≤ (aᵏ⁺¹ + bᵏ⁺¹)/2, ya habríamos probado la desigualdad en general, es decir,

[ (a+b)/2 ]ᵏ⁺¹ ≤ (aᵏ⁺¹ + bᵏ⁺¹)/2, puesto que la desigualdad se verificaría también para el valor n=k+1, y por inducción quedaría probada la desigualdad para todo n natural. Así, todo lo que hay que demostrar es ese paso, el hecho de que:

(aᵏ⁺¹+bᵏ⁺¹+abᵏ+aᵏb)/4 ≤ (aᵏ⁺¹ + bᵏ⁺¹)/2; para lo cual basta ver que la diferencia entre el primero y el segundo miembro es negativa:

(aᵏ⁺¹+bᵏ⁺¹+abᵏ+aᵏb)/4 - (aᵏ⁺¹ + bᵏ⁺¹)/2 = (1/4) (abᵏ+aᵏb-aᵏ⁺¹ - bᵏ⁺¹) =

= (1/4) [ a(bᵏ-aᵏ)+ b(aᵏ- bᵏ)]=(1/4) [ a(bᵏ-aᵏ) - b(bᵏ-aᵏ)] =

-(1/4) [b(bᵏ-aᵏ) -a(bᵏ-aᵏ)] = -(1/4) (b-a)(bᵏ-aᵏ); pero como era a>b, también es

aᵏ>bᵏ, de modo que ambos paréntesis son negativos, su producto positivo y decide el signo final el factor -1/4, que al ser negativo hace negativo el resultado, con desigualdad estricta, además.

Así que, partiendo de que se verifica la desigualdad para n=k>1, hemos probado que se verifica la desigualdad estricta para n=k+1, de tal manera que queda demostrada en general la desigualdad planteada, y además es estricta si n>1.

Ahora supongamos que sen² x=cos²x, y como su suma es 1, será:

sen² x=cos²x=1/2,

lo cual sucederá cuando, y solo cuando, sea |sen x| = |cos x|, o sea,

x= ± π/4 + 2mπ, donde m es entero positivo negativo o cero, o bien cuando

x= ± 3π/4 + 2mπ.

Evidentemente, en este caso, sen²ⁿ x + cos²ⁿ x = (1/2ⁿ)+(1/2ⁿ)=1/2ⁿ⁻¹, y se da la igualdad. Supongamos ahora que x = mπ o x= ± π/2 + mπ, con m entero cualquiera; o dicho más sencillamente, uno de los dos, sen x o cos x se anula.

En ese caso el otro valdrá 1, y será sen² ⁿ x + cos² ⁿ x = 1²ⁿ =1>1/2ⁿ⁻¹, como queríamos demostrar. En este caso además la desigualdad es estricta.

Ahora supongamos que no se anulan ni sen x ni cos x, de modo que consideraremos los dos números positivos sen² x y cos² x; uno de los dos será el mayor, y lo llamamos a, y al otro lo llamamos b.

Será a>b, siendo a=sen² x, b= cos² x, cuando tg²x>1, y cuando tg²x < 1, al contrario, elegiremos a=cos² x, b=sen² x.

En ambos casos, será, por la desigualdad antes demostrada,

[ (a+b)/2 ] ⁿ ≤ (aⁿ + bⁿ)/2 → (1/2)ⁿ ≤ (sen²ⁿ x + cos²ⁿ x)/2, de donde obtenemos la desigualdad (en este caso estricta a partir de n>1) tal como requería probar la pregunta. Así queda establecido en todos los casos, siendo x real y n natural, que:

sen²ⁿ x + cos²ⁿ x ≥ 1/2ⁿ⁻¹.

C.Q.D.