¿Por qué la raíz de 4 no puede ser -2? ¿Por qué si -2 al cuadrado es 4?

Antes que nada, debo decir que tendrías que haber escrito "raíz cuadrada". Una raíz no es necesariamente cuadrada.

Ahora que hemos aclarado esto, respondamos a la pregunta.

La respuesta puede darse desde el punto de vista analista (sin multievaluación) y desde el algebrista.

Desde el primer punto de vista, la raíz cuadrada de algo es una función — la cual podemos representar como

f(x)f(x)

donde xx es la variable independiente,

y las funciones solo pueden devolver un valor. Si la función es real de variable real, por comodidad, se escoge que la función del tipo especificado solo devuelva el valor positivo — es decir,

f(x)=x−−√f(x)=x

La función

f(x)=−x−−√f(x)=−x

sería otra función que difiere en la otra por un signo.

Por tanto:

4–√=24=2

Desde el segundo punto de vista, la raíz cuadrada de algo surge de resolver una ecuación como esta:

x2=Cx2=C

donde CC es una constante,

y tiene dos posibles soluciones en el campo de los reales y de los imaginarios:

x=C−−√x=C

y

x=−C−−√x=−C

ya que

(C−−√)2=(−C−−√)2=C(C)2=(−C)2=C

Por tanto:

4–√=±24=±2

Como a mí me gusta ser general, adopto el punto de vista algebraico y otro tipo de puntos de vista para otras cosas.