?

Supongamos que a y b son números reales, tales que a>0, b>0 → a²>0, a³>0, b²>0, b³>0.

De aquí deducimos, sumando miembro a miembro, que a²+b²+a³+b³>0 (&).

Ahora sumamos a ambos miembros de la desigualdad (&) la identidad:

1+2a+2b+3ab+a²+b²+a²b+ab² = (1+a+b)(1+a)(1+b) → resultará:

1+2a+2b+3ab+a²+b²+a²b+ab²+a²+b²+a³+b³ > (1+a+b)(1+a)(1+b) (&&).

Agrupando términos de forma conveniente en el primer miembro de (&&):

1+2a+2b+3ab+a²+b²+a²b+ab²+a²+b²+a³+b³ =

(1+a+b+ab) + (a+a²+ab)(1+a)+(b+b²)(1+a+b) =

(1+a)(1+b)+a(1+a+b)(1+a)+b(1+b)(1+a+b); sustituyendo ahora esta última expresión por su equivalente idénticamente en el primer miembro de (&&) :

(1+a)(1+b)+a(1+a+b)(1+a)+b(1+b)(1+a+b) > (1+a+b)(1+a)(1+b) ; y teniendo en cuenta que los tres paréntesis factores en el segundo miembro

son estrictamente positivos, podemos dividir todos los términos de la última desigualdad por ese segundo miembro = (1+a+b)(1+a)(1+b), manteniendo el mismo sentido en la desigualdad (>) →

(1+a)(1+b) / [ (1+a+b)(1+a)(1+b) ] + a(1+a+b)(1+a) / [ (1+a+b)(1+a)(1+b) ] +

+b(1+b)(1+a+b) / [ (1+a+b)(1+a)(1+b) ] >1; simplificando :

1 /(1+a+b) + a / (1+b) + b / (1+a) > 1 (*)

(Desigualdad heroica, por el trabajo que ha dado obtenerla…).

Volvemos ahora a la desigualdad que nos pide demostrar esta pregunta:

|z+w|/[1+|z+w|] ≤ |z|/(1+|w|) + |w|/(1+|z|) (con z, w ∈ C ) (1)

PRIMER CASO: Supongamos que uno de los dos z, w, es nulo; por ejemplo, w=0.

La desigualdad (1) se reduce a

|z|/[1+|z|] ≤ |z|; pero esto surge de la evidente desigualdad: 0≤|z| → 1≤1+|z| →

1+|z| ≥ 1 → [ambos miembros positivos] → 1/(1+|z|) ≤ 1 → |z|/[1+|z|] ≤ |z|, como queríamos demostrar; y si el valor nulo es el de z, por simetría, se deduce igualmente la desigualdad: z=0 → 0≤|w| → 1≤1+|w| →

1+|w| ≥ 1 → [ambos miembros positivos] → 1/(1+|w|) ≤ 1 → |w|/[1+|w|] ≤ |w|, como queríamos demostrar.

Además, en este supuesto de que se anule uno de los dos z,w, la desigualdad es estricta si el otro es distinto de cero; pues si por ejemplo, es w=0, z≠0 → 0<|z| → 1<1+|z| →

1+|z| > 1 → [ambos miembros positivos] → 1/(1+|z|) < 1 → |z|/[1+|z|] < |z|, que es la desigualdad estricta que se quería probar; y lo mismo ocurre, por simetría, si z=0, w≠0.

Excepcionalmente, si en este caso ambos z,w son nulos, la desigualdad propuesta se convierte en igualdad; esto es, si z=0, w=0, se da la igualdad, evidentemente, pues

|z+w|/[1+|z+w|] ≤ |z|/(1+|w|) + |w|/(1+|z|) se reduce a 0/1 = 0/1+0/1.

SEGUNDO CASO:

Libres ya de los casos singulares, supongamos, pues, que z≠ 0, y w≠ 0. De modo que |z|>0, |w|>0; designemos por comodidad de notación a=|z|, b=|w|.

Utilizando la desigualdad "heroica", será:

1 /(1+a+b) + a / (1+b) + b / (1+a) > 1 →

[pasando el primer término al segundo miembro] →

a / (1+b) + b / (1+a) > 1-1 /(1+a+b) o leyéndola en sentido contrario,

1-1 /(1+a+b) < a / (1+b) + b / (1+a) (**)

Sabemos también que : |z+w| ≤ |z| + |w|, o bien, |z+w| ≤ a+b → 1+|z+w| ≤ a+b+1 →

1/ [1+|z+w|] ≥ 1/(a+b+1) →

-1/ [1+|z+w|] ≤ -1/(a+b+1) (%)

Pero

|z+w| / [1+|z+w|]= [1+|z+w| -1] / [1+|z+w|] = 1 - 1 / [1+ |z+w| ] ≤ 1-1/(a+b+1), por la desigualdad anterior (%);

En resumen, tenemos:

|z+w| / [1+|z+w|] ≤ 1-1/(a+b+1) < a / (1+b) + b / (1+a) [por (**)]

|z|/(1+|w|) = a/(1+b). [Recordemos que era a=|z|, b=|w|]

|w|/(1+|z|) = b/(1+a). Sustituyendo valores iguales:

|z+w| / [1+|z+w|] < a / (1+b) + b / (1+a) = |z|/(1+|w|) + |w|/(1+|z|), o bien,

|z+w| / [1+|z+w|] < |z|/(1+|w|) + |w|/(1+|z|), que es aún más fuerte que la desigualdad que queríamos demostrar, puesto que es estricta en este caso no singular.

Por supuesto, ella implica la desigualdad "suave", válida, por tanto, en todos los casos:

|z+w| / [1+|z+w|] ≤ |z|/(1+|w|) + |w|/(1+|z|).

[Desigualdad siempre estricta, salvo el único caso z=w=0, en que se da la igualdad]

C.Q.D.