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Esto es muy facilito, pero lo voy a contestar.
Primero diré la respuesta en una línea y luego lo explicaré más a fondo.

Las aplicaciones biyectivas pueden existir si los conjuntos tienen el mismo cardinal, y sabiendo que el cardinal de las partes de S es 2n2n y que el cardinal de un producto cartesiano es el producto de cardinales, por tanto el cardinal de {0,1}n{0,1}n será 2n2n.
Y como son iguales los cardinales existe biyección. Resuelto.

Y ahora alguna explicación más detallada:

La definición de biyección [1] , porque sin saber de qué hablamos es difícil resolver el problema.

"En matemáticas, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida."

En la imagen se puede observar que a cada número del conjunto origen le corresponde una letra diferente del conjunto destino y no hay letra que no tenga como origen un número. Además, se puede pensar que si el número fuese el número de posición de cada letra, esa biyección está expresando una forma de ordenar las 4 letras, que en este caso se ordenarían como DBCA (primero, la D, segunda, la B, etc).
Por tanto, el número de biyecciones de n elementos será igual que el número de permutaciones, que es c! ("c factorial"), siendo "c" el cardinal de X, es decir, c = |X|.

Esto significa que no solamente podremos probar que existe "una" función biyectiva, es decir, "alguna", al menos una, sino que podremos calcular el número de funciones biyectivas, que es el factorial del cardinal cada uno de los conjuntos origen y destino, que deberá ser el mismo cardinal.

¿Y cuál es el cardinal del conjunto origen, de un producto cartesiano?
El cardinal de {0,1}n{0,1}n, que se escribiría |{0,1}n|=|{0,1}|n=2n|{0,1}n|=|{0,1}|n=2n
Como dije al principio, el cardinal del producto cartesiano es el producto de cardinales. No olvidemos lo que es el producto cartesiano, que no es otra cosa que un conjunto de tuplas, donde el primer elemento de cada tupla pertenece al primer conjunto, el segundo elemento pertenece al segundo conjunto, etc…
El número total de tuplas es el cardinal del producto cartesiano y sería el producto de cardinales… Y casos como este que el conjunto es el mismo, sería una potencia enésima del cardinal. En estos casos el número de tuplas también se puede ver como "variaciones con repetición de k elementos tomados de n en n", donde "k" sería el cardinal del conjunto de partida o base del producto cartesiano. En este caso el conjunto base sería {0,1}{0,1} y sería k=2k=2… Por tanto, variaciones con repetición de 2 elementos tomados de n en n. El número de variaciones sería VR(2,n)=2nVR(2,n)=2n

Por último, la definición de P(S)P(S) , llamado conjunto "Potencia de S" o también "Partes de S" y el cardinal de ese conjunto de partes en función de |S||S| (el cardinal de S) se puede encontrar en Wikipedia [2] y en otra respuesta que escribí [3] donde lo calculé de 4 formas diferentes. Y, efectivamente, también es 2n2n

|P(S)|=2|S|=2n|P(S)|=2|S|=2n

Y en esa otra respuesta ya escribí una biyección entre ambos conjuntos, que sirve para ver todavía más claro no solamente que existe alguna biyección sino un ejemplo de biyección bastante sencilla.
Dado que {0,1}n{0,1}n es un conjunto de tuplas formadas por n elementos binarios (cada elemento podrá tomar los valores 0 ó 1) bastaría imaginar que cada una de estas n "dimensiones" o posiciones de la tupla corresponde a cada uno de los n elementos de S, y que el valor "0" (cero) signifique, por ejemplo, que ese elemento no está en un conjunto, y el valor "1" (uno) signifique que ese elemento sí está. De esta forma con cada una de las tuplas del producto cartesiano origen representamos a un subconjunto de S, es decir, un elemento de las "partes de S".

Ejemplo con n = 3 y un conjunto S de letras :

S = {A, B, C}

P(S)P(S) = { Ø, {A}, {B}, {A, B}, {C}, {C, A}, {C, B}, {C, B, A} }
Se puede comprobar que este conjunto tiene 2323 = 8 elementos.

{0,1}3{0,1}3 = { (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1) }
Se puede comprobar que este también tiene 2323 = 8 elementos.

Además, se puede comprobar que si cada posición de la tupla corresponde a una de las letras, C, B y A respectivamente, puede pensarse que expresan cada uno de los subconjuntos.
Por ejemplo, (0, 0, 0) significaría "no C, no B, no A" y sería el conjunto vacío (Ø), el primer elemento de las partes de S.
El elemento cuarto, el (0, 1, 1) significaría "no C, sí B, sí A" y sería el subconjunto {B, A} que aparece en cuarta posición en las partes de S…
Por tanto, hay una biyección, a cada elemento de las partes de S le corresponde un elemento de las tuplas binarias y, viceversa, para cualquier tupla binaria que imaginemos habrá un subconjunto de S, un elemento de partes de S.

Añadiré más: esto no es un mero ejercicio matemático sino que tiene mucha utilidad práctica en informática.
Cuando se escriben programas para computadoras se usan bits y secuencias de bits que son las tuplas de {0, 1} y en este ejemplo se puede ver cómo usar una secuencia de bits para representar un subconjunto de una forma que ocupe poca memoria y que sea fácilmente convertible, de secuencia de bits a subconjunto y, viceversa, de subconjunto a secuencia de bits.

Todavía más: la intersección de [sub]conjuntos se puede hacer con una simple operación lógica AND y la unión de [sub]conjuntos se puede hacer con una simple operación lógica OR. No olvidemos que las computadoras tienen una UAL (Unidad Aritmético-Lógica), aunque ahora suele estar en forma de coprocesador matemático, pero lo que quiero decir es que este tipo de operaciones son algo que las máquinas hacen de forma casi inmediata.

Notas al pie