?

Sea A={x∈[a,b]∣x≤f(x)}A={x∈[a,b]∣x≤f(x)}. AA no puede ser vacío, porque entonces se tendría que a∉Aa∉A y, por tanto, a>f(a)a>f(a), lo cual no puede ocurrir pues f:[a,b]→[a,b]f:[a,b]→[a,b]. Entonces a∈Aa∈A y AA es no vacío. Además AA está acotado por arriba por bb.

Por la completitud de RR sabemos que un conjunto no vacío y acotado por arriba tiene un supremo, y entonces podemos decir que AA tiene un supremo cc, que debe ser menor que cualquier cota por arriba de AA, por lo que c≤bc≤b. Además, como a∈Aa∈A, tenemos también que a≤ca≤c. Veamos ahora que f(c)=cf(c)=c.

Si tomamos x∈Ax∈A, entonces x≤cx≤c, y por tanto f(x)≤f(c)f(x)≤f(c) por la hipótesis del enunciado sobre ff. Además, como x∈Ax∈A tenemos que x≤f(x)≤f(c)x≤f(x)≤f(c), por lo que f(c)f(c) es una cota por arriba para el conjunto AA.

Recordemos que cc es el supremo de AA, lo cual significa que es la menor cota por arriba posible de AA, por lo que c≤f(c)c≤f(c). Esto quiere decir que c∈Ac∈A, y además implica que f(c)≤f(f(c))f(c)≤f(f(c)) (aplicando una vez más la hipótesis sobre ff). Esta última desigualdad quiere decir también que f(c)∈Af(c)∈A, por lo que debe estar acotado por cc, es decir, f(c)≤cf(c)≤c.

Tenemos tanto c≤f(c)c≤f(c) como f(c)≤cf(c)≤c, así que f(c)=cf(c)=c, con c∈[a,b]c∈[a,b] (ya que a≤c≤ba≤c≤b).