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Sea la función

f(x)=xx3+xf(x)=xx3+x

Fijémonos en que podemos sacar xx como factor común en el denominador:

f(x)=xx(x2+1)f(x)=xx(x2+1)

Como xx aparece multiplicando tanto en el numerador como en el denominador, el cociente da 11 y, dado que 11 es el elemento neutro de la multiplicación, obtenemos que

f(x)=1x2+1f(x)=1x2+1

Ahora démosle a xx el valor 00 y veamos cuánto vale la función:

f(0)=102+1=10+1=11=1f(0)=102+1=10+1=11=1

Entonces, ya está. Los que dicen que la función está indeterminada en x=0x=0 están equivocados porque acabamos de demostrar que en x=0x=0 la función vale 1.1.

¿O acaso estamos cometiendo algún fallo y por eso no aparece la indeterminación?

Pues precisamente estamos cometiendo un fallo.

Volvamos al siguiente paso:

f(x)=xx(x2+1)f(x)=xx(x2+1)

Cuando aquí decimos que xx=1,xx=1, estamos asumiendo que x≠0.x≠0. Si no fuera el caso, entonces no podríamos hacer la simplificación, puesto que obtendríamos la siguiente indeterminación:

f(0)=00(02+1)=00(0+1)=00(1)=00=Indeterminaciónf(0)=00(02+1)=00(0+1)=00(1)=00=Indeterminación

Pero quizás existe el límite de la función cuando x→0.x→0.

Fijémonos en que la indeterminación es de tipo 00.00. Eso significa que, en caso de existir el límite, lo podemos calcular aplicando la regla de l'Hôpital, que consiste en derivar el numerador y el denominador por separado hasta que cese la indeterminación y tengamos un límite finito. Así, pues, supongamos que existe el límite y calculémoslo:

limx→0f(x)=limx→0xx3+x=l'Hlimx→013x2+1=13⋅02+1=13⋅0+1=10+1=11=1limx→0f(x)=limx→0xx3+x=l'Hlimx→013x2+1=13⋅02+1=13⋅0+1=10+1=11=1

Por tanto, de existir el límite, este vale exactamente 1.1.