Dos puntos situados a cierta altura del suelo están unidos por una cuerda. La cuerda mide 10 metros y la distancia en vertical desde su punto más...

A2A*. Voy a asumir que los dos extremos están a la misma altura y que la cuerda está en reposo; en ese caso la física del problema lleva a que la cuerda adoptará una forma de catenaria:

h(x)=acosh(xa)h(x)=acosh⁡(xa)

El parámetro a dependerá del peso de la cuerda y de la tensión horizontal que apliquemos para mantenerla en equilibrio; esta figura da una idea:

Ahora vamos a suponer que la distancia horizontal es d, y vamos a suponer que el punto más bajo está 5 m por debajo de los extremos para calcular a. Necesitamos encontrar un valor de d y un valor de a que satisfagan primero esta ecuación:

Δ=h(d2)−h(0)=a[cosh(d2a)−1]=5Δ=h(d2)−h(0)=a[cosh⁡(d2a)−1]=5

Y como sabemos que la cuerda mide 10 metros (despreciando el estiramiento minúsculo que sufrirá por la gravedad) entonces tenemos:

L=∫d/2−d/21+(dhdx)2−−−−−−−−−−⎷=2asinh(d2a)=10⇒L=∫−d/2d/21+(dhdx)2=2asinh⁡(d2a)=10⇒

L=a[exp(d2a)−exp(−d2a)]=10L=a[exp⁡(d2a)−exp⁡(−d2a)]=10

La última integral es relativamente simple. Haciendo el cambio λ=exp(d/2a)λ=exp⁡(d/2a) podemos escribir un sistema de dos ecuaciones cuya solución proporciona la distancia horizontal necesarias dada la longitud de la cuerda y su descenso. El sistema que debe resolverse es:

a(λ−1λ)=L=10,a(12λ2+1λ−1)=Δ=5a(λ−1λ)=L=10,a(12λ2+1λ−1)=Δ=5

Para simplificar un poco este sistema, dividimos la primera ecuación entre la segunda y eso nos da el valor de λλ:

2λ+1λ−1=LΔ⇒λ=L/Δ+2L/Δ−22λ+1λ−1=LΔ⇒λ=L/Δ+2L/Δ−2

Ahora se aprecia que no existe solución no-trivial (d>0d>0) del problema para L/Δ=2L/Δ=2 como pedía el problema, ya que eso requieriría una λ=∞λ=∞. Si en lugar de poner un descenso de ΔΔ de 5 metros, asumimos Δ<5Δ<5 m, esta última ecuación nos da una solución adecuada siendo:

a=Δ8(L2Δ2−4)a=Δ8(L2Δ2−4)

lo cual lleva a una distancia horizontal:

H=Δ4(L2Δ2−4)lnL+2ΔL−2ΔH=Δ4(L2Δ2−4)ln⁡L+2ΔL−2Δ

Por ejemplo para Δ=4,5Δ=4,5 m, se tiene d=3,11d=3,11 m (esto corresponde a una cuerda destensada), para una cuerda muy tensa con un descenso digamos Δ=0,10Δ=0,10 m, la distancia es prácticamente la longitud de la cuerda d=9,997d=9,997 m. En cambio está claro que para Δ=5Δ=5 m, no puede haber solución diferente de que la cuerda baje vertical y vuelva a subir vertical ya que 5+5 = 10 m y entonces la distancia horizontal es d=0d=0.