¿De qué cuadrilátero podemos estar hablando si decidimos que tienen dos lados congruentes y dos ángulos rectos?

Partiendo del enunciado de la pregunta que nos habla de un cuadrilátero con dos lados congruentes y dos ángulos rectos, no pone al menos, es decir estamos hablando de construir un cuadrilátero que cumpla exactamente esas dos condiciones.

Dada una cuaterna de puntos de PP, (P,Q,R,S), se dice que los segmentos [P,Q],[Q,R],[R,S],[S,P] forman un cuadrilátero si dos cualquiera de ellos son disjuntos o bien tienen un único extremo en común, además supondremos que no hay tres puntos que estén alineados.

Hay dos tipos de cuadriláteros:

• Convexo: Si toda recta que no contenga a ninguno de los lados del cuadrilátero corta a lo más en dos puntos a los lados del cuadrilátero. En otras palabras que la suma de los ángulos internos cumple:

α+β+γ+θ=2π=360ºα+β+γ+θ=2π=360º

• Cóncavo: Todo cuadrilátero no convexo. Tiene la característica de que tiene ángulo interno mayor de 180º, sea este ángulo interior ∠Q=θ∠Q=θ, entonces el ángulo exterior χχ cumple:

Si χ=α+β+γχ=α+β+γ

lo cuál imposibilita la construcción de nuestro cuadrilátero con dos ángulos rectos, por tanto nuestro cuadrilátero es convexo.

Sigamos ahora con la clasificación de cuadriláteros convexos atendiendo al paralelismo de sus lados:

• Paralelogramo: Un cuadrilátero (P,A,B,C) en PP, es un paralelogramo si:

medio[P,B]=medio[A,C]medio[P,B]=medio[A,C]

Siendo [P,B] y [A,C] las diagonales del cuadrilátero y su punto medio en común es el centro del paralelogramo M.

Según esta definición, un paralelogramo es un cuadrilátero que admite un reflexión central de centro M, σMσM, que implica:

i) Permuta los vértices opuestos:

σM(P)=B…σM(C)=AσM(P)=B…σM(C)=A

ii) Envía toda recta r sobre una recta paralela a r, luego:

rPA∥rCB∧rPC∥rABrPA∥rCB∧rPC∥rAB

iii) Los lados opuestos tienen la misma longitud

d(P,A)=d(C,B)∧d(P,C)=d(A,B)d(P,A)=d(C,B)∧d(P,C)=d(A,B)

lo cual implica que los lados son congruentes dos a dos, contradiciendo las condiciones del enunciado. Por tanto, el cuadrilátero no es un paralelogramo, que no es más que un cuadrilátero que admite una simetría central que es una media vuelta.

• Trapezoide: Se define al trapezoide como aquel cuadrilátero que no tiene lados opuestos paralelos. Si no existe al menos dos lados paralelos, no existirá perpendicular a dos lados que formen dos ángulos rectos ya que si los segmentos a y b son paralelos, entonces:

a∥b∧c⊥a⇒c⊥ba∥b∧c⊥a⇒c⊥b

y tendríamos los dos ángulos rectos, luego nuestro cuadrilátero no es un trapezoide.

• Trapecio: El trapecio se define como el cuadrilátero que tiene dos lados opuestos paralelos, el cual se les denomina: «BASES». Tenemos:

i) Escaleno: Es un trapecio donde los lados laterales son de diferentes longitudes, luego no hay dos lados congruentes, no es nuestro cuadrilátero.

ii) Isósceles: Es aquel trapecio cuyos lados laterales son de igual longitud. Los ángulos que forman los lados laterales con la base son iguales. Por tanto si le ponemos la condición de que esos ángulos sean de 90º lo estaremos convirtiendo en un rectángulo que también es un paralelogramo, el cuál ya sido descartado anteriormente.

iii) Trapecio rectángulo: Es aquel trapecio donde uno de los lados laterales es perpendicular a las bases, es decir, sería la altura del trapecio. Con esto tendríamos dos ángulos rectos y nos faltaría imponer la condición de dos lados congruentes, esto es:

d(P,C)=d(P,A)d(P,C)=d(P,A)

Por tanto, nuestro cuadrilátero con dos ángulos rectos y dos lados congruentes sólo puede ser un trapecio rectángulo.

Un saludo