¿Por qué se supone que π tiene una expansión decimal infinitamente larga que nunca se repite? ¿Qué pasa si después de unos cuantos billones de...

Si haces esta pregunta es que seguramente no tengas el nivel matemático necesario para entender las demostraciones de la irracionalidad de pi ya que son extremadamente complejas. Si te satisface aquí tienes la prueba de algo similar pero mucho más fácil, la irracionalidad de la raíz de 2.

Empecemos por asumir que √2 es un número racional de manera que

√2 = a/b

Donde a y b no comparten factores (la fracción a/b no se puede simplificar más). Vamos a cuadrar ambos lados.

2 = a^2/b^2

2b^2=a^2

De manera que a^2 debe de ser par y por consecuencia a tiene que ser par, de manera que podemos reescribir a como 2c, de manera que √2=2c/b.

Volvemos a cuadrar ambos lados

2=4c^2/b^2

2b^2=4c^2

b^2=2c^2

De manera que b también es… par? Esto es una contradicción ya que desde el principio asumimos que a y b no comparten factores, lo cual no puede ser verdad si son ambos divisibles por 2 de manera que √2 no se puede expresar como una fracción a/b.

Si te sientes atrevido puedes buscar alguna de las pruebas para la irracionalidad de pi en Youtube pero como ya he dicho igual son un tanto complicadas. La más fácil creo que es la de Mathologer pero parte de una fórmula con la que tal vez no estés familiarizado.