Sea la ecuación x^4 - 4y^4=2z^2 , con (x,y, z) enteros: ¿Pueden probar que esta ecuación no tiene solución para enteros positivos utilizando el...

Supongamos x, y, z enteros positivos.

x⁴-4y⁴=(x²+2y²)(x²-2y²) (Diferencia de cuadrados = Suma * Diferencia).

Pero tanto la suma de los dos paréntesis (=2x²) como su diferencia (=4y²) son números pares, luego ambos paréntesis son pares o ambos impares.

Pero (x²+2y²)(x²-2y²)= 2z² = PAR, entonces ambos paréntesis no pueden ser impares, pues su producto ha de ser par, y así los dos paréntesis son pares.

Pero x²+2y²=par → x par (si x impar, x²+2y² sería impar). Luego x=2x’. Evidentemente, x’, pues la mitad de un nº positivo es siempre menor que él.

Así, (4x’²+2y²)(4x’²-2y²)=2z² → 16x’⁴-4y⁴=2z² → 8x’⁴-2y⁴=z², 2(4x’⁴-y⁴)=z², pero eso significa que z es par, pues si fuera impar lo sería también su cuadrado.

Así, z=2z’, con z’. Luego entonces, 2(4x’⁴-y⁴)=(2z’)²→ 4x’⁴-y⁴=2z’², pero entonces es y⁴=4x’⁴-2z’²=2(2x’⁴-z’²)=PAR, así que y⁴ es par→y par (si fuera y impar lo serían todas sus potencias, por ser productos de impares).

De nuevo es y=2y’, con y’. Sustituyendo en la ecuación última:

4x’⁴-16y’⁴=2z’² → 2x’⁴-8y’⁴=z’², luego z’² = PAR → z’=PAR, z’=2z’’, con z’’

Sustituyendo z’: 2x’⁴-8y’⁴=(2z’’)² → x’⁴-4y’⁴=2z’’², exactamente la misma ecuación original, pero esta vez en vez de la solución de partida (x,y,z), hemos obtenido (x’,y’,z’’) con x’, y’,z’’ enteros positivos, así como x’

Procediendo de la misma manera obtendríamos infinitas soluciones enteras y positivas y con valores de cada incógnita siempre estrictamente menores que los iniciales, contradicción en la que se basa el método del descenso infinito de Fermat.

Por lo tanto, la ecuación diofántica propuesta no admite ninguna solución con los tres valores (x,y,z) enteros y positivos.

Siendo todos los exponentes pares no puede haber tampoco soluciones distintas de cero en las tres incógnitas y con valores negativos en todas o algunas de ellas, pues cambiando signos obtendríamos de ellas soluciones enteras y positivas, que sabemos no existen.

Sin embargo, con x=0, tenemos -4y⁴=2z², imposible si y es positiva o negativa, pues z² siempre es positivo o nulo, nunca negativo.

Así, no puede ser y distinto de 0, luego y=0, que da z=0. (0,0,0) es una solución entera, como puede comprobarse.

Probando en la ecuación original y=0, sería x⁴=2z², si fuera z distinto de 0, también lo sería x,

y entonces x⁴/z²=2 → (x²/z)²=2, con x², z enteros…¡IMPOSIBLE! pues la raíz cuadrada de 2 es irracional. De modo que ha de ser z=0, que vuelve a dar x=0, la misma solución antes hallada.

Probando finalmente z=0, suponiendo y distinto de 0 tenemos x⁴-4y⁴=0 →x distinto de 0, x⁴/y⁴ = 4 → x²/y² = 2, contradicción de nuevo, pues la raíz cuadrada de 2 es irracional. Así que será forzoso que sea y=0, lo que da otra vez x=0, de manera que la única solución entera de la ecuación dada es la solución nula:

x=y=z=0.

Si x, y, z son reales, podemos despejar z,

z= (+,-)[(x⁴-4y⁴)/2]^(1/2), y dar valores reales arbitrarios a x, y con la única condición de que el radicando sea no negativo, es decir, x⁴-4y⁴>=0, de modo que suponiendo y distinto de 0, (x/y)⁴>=4 → [(x/y)²]²>=4 → (x/y)²>=2 (no puede ser negativo (x/y)² en R, y ahora, tomando ABS como signo del valor absoluto, ABS (x/y)>=2^(1/2), o sea, -2^(1/2)<=x/y<=2^(1/2).

Otra posibilidad válida es asignar y=0, y entonces z= (+,-)(x⁴/2)^(1/2), o bien,

z= (+,-) x^2/[2^(1/2)], con x recibiendo valores reales arbitrarios, junto a y=0.