¿Cuántos jueves hubo exactamente en todos los meses de febrero, desde el año 1587 al 2009, ambos inclusive? ¿Se puede dar una fórmula general para...

El calendario gregoriano es un poco enrevesado para hacer cálculos, en particular por las excepciones que ocurren cada cuatro años cada centuria y cada 400 años.

Empecemos por el número de días del año. Un año tiene 365 días. Son 52 semanas de 7 días (364 días) y un día adicional. Eso significa que si un año empieza en domingo, el siguiente año empieza un día después, el lunes. Si esto fuera así siempre, (que no lo es) los impresores de calendarios solo tendrían que preparar 7 calendarios (con el primero de enero en cada día de la semana) y solamente cambiarle el año.

Pero la regla de los años bisiestos cambia este panorama. Cada cuatro años ocurre un año bisiesto y a febrero se le agrega un día más. Los impresores necesitan entonces 14 calendarios, para dada día de la semana, dos calendarios: uno normal y otro bisiesto.

Año 1: normal

Año 2: normal

Año 3: normal

Año 4: bisiesto

Año 5: normal

...

Supongamos que en el año 1 el primero de enero es lunes. Los años sucesivos esta fecha se va moviendo así:

Año 1: lunes

Año 2: martes

Año 3: miércoles

Año 4: jueves

Año 5: sábado - salta un día (el efecto del bisiesto ocurre en el siguiente año)

Analicemos el mes de febrero. Febrero normalmente tiene 28 días, cuatro semanas exactas. Eso significa que tiene cuatro lunes, cuatro martes, etc. Si el año es bisiesto, febrero tiene 29 días. Entonces, si el primero de febrero es lunes, el 29 de febrero es lunes y habrá 5 lunes en ese mes, todos los demás días aparecerán solo 4 veces.

En la pregunta estamos interesados en los jueves de febrero. Febrero en cualquier año tendrá 4 jueves, excepto en los años bisiestos cuando empiece en jueves, en los cuales tendrá 5.

Esto significa que para que febrero tenga cinco jueves es necesario que febrero comience en jueves y sea año bisiesto. Esto, según se puede comprobar, ocurre cada 28 años. Parecería que alguna fórmula con (año módulo 28) podría servirnos para nuestros propósitos.

Pero ahora intervienen las reglas de los años bisiestos para complicar el panorama. La primera es que los años centenarios (1500, 1700, 1800) no son bisiestos. Y cada cuatrocientos años (1600, 2000, 2400), esos años centenarios sí los serán.

Los períodos de 28 años se ven alterados de la siguiente manera:

(1512 es el primer año desde 1500 que es bisiesto y en el que febrero comienza en jueves. Todos estos años son bisisestos con 1 de febrero en jueves)

La primera columna es el año y la segunda columna es el número de años transcurridos entre uno y otro año.

De 1680 a 1720 el período se alarga a 40 años, debido a la ocurrencia del año 1700 entre ellos, que no es bisiesto. Lo mismo ocurre entre 1776 y 1816, debido a la aparición del año 1800. Nótese que al pasar el año 1600 no hay alteración en la secuencia, porque ese año al ser divisible por 400 sí es bisiesto.

La racha dura 400 años y luego se repite.

Es posible diseñar un algoritmo con esta secuencia de períodos en los cuales febrero tiene 5 jueves. Se trabajaría con el (año-1500) módulo 400, y una vez reducido a ese período, se recorrerían los períodos variables de 28 y 40 años para obtener los años con cinco jueves dentro de los años en estudio. No encuentro cómo colocar esto con una sola fórmula.

La respuesta a la primera parte de la pregunta sería:

Hay 423 años entre 1587 y 2009. Eso corresponde a 423 * 4 = 1692 jueves, a los que hay que sumarles 14 jueves adicionales de los 14 años bisiestos con febrero comenzando en jueves. Total: 1706 jueves.