¿Qué libro o libros podrían recomendarme para tener una mejor comprensión sobre los números reales y ampliar mi visión de las matemáticas?

Edmund Landau, Grundlagen der Analysis - LEIPZIG 1930

AKADEMISCHE VERLAGSGESERLLSCHAFT M.B.H

(Primera edición, en alemán)

Hay una buena traducción al inglés de Steinhardt (Columbia University):

Landau, Foundations of Analysis, Chelsea Publishing Company 1951.

Puedes consultarla en:

https://ia800305.us.archive.org/14/items/EdmundLandau_201504/Edmund%20Landau.pdf

Se ha escrito mucho sobre el tema desde 1930, pero sigue siendo un texto clásico, admirable por su precisión y concisión, y desde luego, conocer de primera mano el estilo del "Profesor Landau" es una experiencia intransferible. Así como su obra Differential and integral calculus (Traducción de Hausner y Davis publicada en Chelsea 1951), y sus textos impecables y profundos sobre teoría de números, Foundations of Analysis posee también la misma cualidad de la estructuración mental y deductiva, con una elegancia expositiva muy "alemana", a partir de un conocimiento erudito y enciclopédico de todo lo anteriormente publicado, y si acaso la única crítica que se le puede hacer, y que también es una virtud, es que no "cuenta, narra, relata, explica…" sino "ESTABLECE, ENUNCIA Y DEMUESTRA" con un estilo muy serio y solemne, buscando siempre el camino más corto. No hay una sola errata, un solo cabo suelto, una mínima ambigüedad en toda la producción de esta "máquina" de publicaciones matemáticas de precisión que fue Edmund Landau.

Foundations of Analysis empieza con los axiomas de los números naturales, y va construyendo hacia arriba, hasta llegar a definir los reales por medio de las cortaduras de Dedekind. Sobre este libro se han basado muchas de las publicaciones siguientes.

Por seguir con autores clásicos alemanes, es muy interesante la construcción de los números reales que expone Knopp en su obra maestra de 1928: Theory and Application of infinite series (traducción al inglés de Miss M.C.H Young para BLACKIE & SON LIMITED); además de ser este libro la Biblia sobre series, expone con todo lujo de detalles la construcción de los reales mediante las sucesiones de intervalos encajados (o anidados, también se llaman así, sobre todo en textos anglosajones; en muchos textos españoles se llaman también sucesiones adyacentes de números racionales).

En textos más recientes (no necesariamente mejores) puede verse la construcción mediante sucesiones de Cauchy; esa exposición la ofrece con solvencia el texto español de Fernández Viña:

Lecciones de Análisis matemático, Tomo 1 (Tecnos 1976).

Particularmente clara es la construcción de los números reales por pares de sucesiones adyacentes (siguiendo a Knopp) que puedes ver en el texto de varios autores españoles (Barbolla, García, Margalef, Outerelo, Pinilla y Sánchez),

Introducción al análisis real (Alhambra Universidad, 1975).

Ahora bien, si quieres disfrutar, aprender y asombrarte de que haya siempre cosas nuevas que decir, consigue el precioso y artístico texto reciente, fresco, motivador y erudito a la vez, del gran autor de la Universidad de San Francisco:

John Stillwell, The Real Numbers - An Introduction to Set Theory and Analysis

(Springer, 2013)