¿Cuál es la probabilidad que un número dado sea primo?

Existe una función muy sencilla que aproxima la abundancia relativa de primos en función del valor del número: según el Teorema de los Números de Primos (cuya idea original se remonta a Gauss) pi(x)/x ~ 1/ln(x), donde pi(x) es el número de primos menores o iguales que x. Esta función refleja que la abundancia relativa es decreciente. Por ejemplo la proporción de primos pi(x)/x entre 1 y 10 (40%) es mucho mayor que entre 1 y 100, la cual a su vez es mucho mayor que entre 1 y 1000, etc. Si hacemos la derivada de la aproximación de pi(x): d/dx(x/ln(x)) = (ln(x) -1)/(ln(x))^2, este valor lo podemos interpretar de forma laxa como una medida de la probabilidad de que x sea primo, cuando x es un entero positivo. Esta función alcanza un máximo de 1/4 para x = e^2 (cerca de 7.4) y a partir de ahi decrece. Por ejemplo, para x=100 es un 17%. Obviamente 100 no es primo, lo que nos dice este resultado es que, alrededor de 100, aproximadamente un 17% de los enteros son primos (aprox uno de cada 6). Para x= 1000 obtenemos un 12.4%, cerca de 1 de cada 8. Para x 1 millón la proporción es de 1/15 aprox.

Resumiendo: sí podemos calcular una aproximación (bastante buena, sobre todo para números grandes) de la probabilidad de que sea primo un número dado atendiendo únicamente a la densidad media de primos alrededor de ese valor, gracias al Teorema de los números primos. Y esa probabilidad es (ln(x)-1)/(ln(x))^2.