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Es relativamente fácil de resolver, pero no debes atacarlo tal cual, lo primero que debes hacer es reconvertir esta ecuación trascendente en algo más manejable por ejemplo un polinomio, analizando un poco vemos que la ecuación es equivalente a:

(2⋅2)x+(2⋅3)x=(3⋅3)x(2⋅2)x+(2⋅3)x=(3⋅3)x

Así que podemos introducir dos variables nuevas y=2xy=2x y z=3xz=3x, con estas variables la ecuación “se domestica” y se vuelve un inofensivo polinomio:

y2+yz=z2⇒z2−yz−y2=0y2+yz=z2⇒z2−yz−y2=0

Podemos ahora encontrar zz en términos de yy:

z=y±y2+4y2−−−−−−−√2=1±5–√2yz=y±y2+4y22=1±52y

Si buscas una solución dentro de los números reales debes descartar la solución con signo negativo (porque para ella xx da un número complejo). Entonces tenemos:

z=1+5–√2y⇒3x=1+5–√22xz=1+52y⇒3x=1+522x

Fíjate que aquí aparecer por casualidad la número áureo φ=(1+5–√)/2φ=(1+5)/2. Hecho esto, puedes tomar logaritmos a un lado y a otro y convertir la ecuación en una ecuación lineal en la variable xx:

xln3=lnφ+xln2xln⁡3=ln⁡φ+xln⁡2

Esto nos lleva directamente a la solución sin más:

x=lnφln3−ln2≈1,186814390…x=ln⁡φln⁡3−ln⁡2≈1,186814390…

(Off topic) La solución compleja descartada, la que sale tomando el signo negativo es:

x≈−1,186814389+7,748120836ix≈−1,186814389+7,748120836i