Si la gravedad siempre acelera, ¿por qué un objeto con masa no puede acelerar hasta la velocidad de la luz de esa forma? Imaginemos en un planeta...

Intentaremos explicarlo sin hacer uso de conceptos complicados.

¿Por medio de qué razonamiento podrías pensar que la velocidad de la luz podría ser superada en el caso que propones?

Por algo como esto:

tenemos un móvil de masa mm que sufre una fuerza FF igual a su peso, y por la segunda ley de Newton desarrollará una aceleración:

a=Fma=Fm

en ausencia de atmósfera el movimiento será uniformemente acelerado, de modo que su velocidad será:

v(t)=at+v0=Fmt+v0v(t)=at+v0=Fmt+v0

Así pues, será una velocidad creciente lineal y el algún momento deberá pasar la velocidad de la luz.

¿Por qué esto no es así?¿Qué falla en este razonamiento ingenuo y clásico?

Varias cosas, fallan varias cosas. Para empezar, incluso dentro de la física más clásica, el peso del objeto no es constante, sino que depende de su distancia al planeta. Para alcanzar la velocidad de la luz con una aceleración como la de la gravedad terrestre se necesitaría casi un año de aceleración… pero entonces la influencia del planeta sería mínima y la aceleración sería mínima. Por lo tanto dado que la aceleración que sufriría en la lejanía sería muy pequeña, y el tiempo que se necesita para (en el marco de la física clásica, repito) para alcanzar la velocidad de la luz es tan grande que estos cálculos no valen.

Pero es que incluso si nada de esto ocurriera la velocidad de la luz no podría superarse, ahora por motivos relativistas. Me explico:

La segunda ley de Newton que hemos empleado, F=maF=ma la podemos escribir así:

F=d(mv)dtF=d(mv)dt

Parece lo mismo, dado que

d(mv)dt=mdvdt=mad(mv)dt=mdvdt=ma

pero hay una sutil diferencia: ahora no estamos considerando la masa como una constante (que es lo que hemos hecho en la física clásica, al sacarla de la derivada respecto al tiempo),

Resulta que la masa del objeto que cae depende (precisamente) de la velocidad que lleve, y vale:

m=m01−v2c2−−−−−−√m=m01−v2c2

No vale la pena desarrollar aquí la ecuación diferencial y encontrar la solución explícita de v=v(t)v=v(t), baste darse cuenta de que cuando va aumentando la velocidad el valor de la raíz cuadrada tiende a cero, y la masa de dispara hacia infinito, de modo que la aceleración será cada vez menor, incluso cuando es sometida a una fuerza constante por toda la eternidad. La velocidad de la luz es una asíntota horizontal de la gráfica de la velocidad respecto al tiempo: una barrera infranqueable, porque por mucho que le inyectemos energía al movil, la empleará a partir de un momento en aumentar su masa, no su velocidad.