¿Qué partes de la física piensas que son las más fascinantes matemáticamente?

Sin lugar a dudas la teoría de las supercuerdas, y dentro de ésta su pilar, la supersimetría, que también tiene vida propia.

La matemática que ha surgido de la teoría de las supercuerdas es impresionante, enriqueciéndose a sí misma en el proceso, e iluminando y creando nuevas ramas de la matemática pura a su paso. Aunque se demuestre que no es la que unifica las cuatro fuerzas de la naturaleza, aunque no sea el Santo Grial de la física, sus logros matemáticos son más que suficientes para a asegurarle un lugar eterno en la historia de la ciencia.

Aquí un listado de algunos logros fascinantes:

1. En 1982, Edward Witten, el más importante e influyente físico viviente, dedujo de nuevo y de forma elegante las famosas desigualdades de Morse, usando un modelo cuántico supersimétrico. Un logro inesperado que dejó a la comunidad matemática boquiabierta y que apuntaba hacia el poder matemático latente dentro de la supersimetría.
2. Y en efecto, usando la supergravedad, y su estructura matemática basada en la supersimetría, Witten ataca de nuevo y, en 1983, demostró que la masa es positiva en la relatividad general. Una demostración genial, concisa, de unas herramientas matemáticas altamente sofisticadas. Un logro impresionante, dado que ya se había demostrado el teorema, por Shing-Tung Yau y Richard Schoen, en 1979, de una manera compleja, usando un intrincado aparato matemático basado en el cálculo de variaciones .
3. En 1983, también, el físico español Luís Alvarez-Gaumé descubre una nueva demostración, usando la supersimetría, del famoso e importante teorema sobre el índice de Atiyah-Singer. Otro logro sorprendente y fascinante que, en mi opinión, no ha recibido el debido mérito.
4. El estudio de las variedades de Calabi-Yau recibieron un impulso extraordinario cuando los teóricos de las supercuerdas descubrieron que podían usarse como espacios para compactar las seis dimensiones extras en teoría de supercuerdas. De paso, descubren la simetría espejo, que relaciona de manera sorprendente a estos espacios entre sí. El estudio de esta nueva simetría florece como una rama de la geometría algebraica, con resultados espectaculares.
5. Usando teorías gauge supersimétricas, en 4 dimensiones, Nathan Seiberg y, again, Ed Witten introducen nuevos invariantes topológicos para variedades suaves en 4 dimensiones, obteniendo fascinantes resultados en este campo y continuando el revolucionario trabajo de Simon Donaldson.
6. Gregori Perelman, en el 2003, demostró la conjetura de Poincaré usando como punto de arranque una ecuación (una funcional) que aparece en teoría de supercuerdas, y que describe acciones efectivas a baja energía.
7. Nima Arkani Hammed y Jaroslav Trnka introducen, en 2013, el amplituedro para calcular colisiones de partículas en teorías de campos supersimétricas. Este objeto geométrico ha abierto nuevas posiblididades en la fisica de altas energías y en la alta matemática, pues para ciertas teorías gauge supersimétricas, y de supercuerdas, puede representarse como un grasmaniano, o sea, como una variedad compacta. Este hallazgo ha sorprendido a la comunidad matemática, y a físicos por igual, por su poder a la hora de resolver intrincados problemas en distintas ramas y ofrecer una nueva ventana a la estructura del espacio-tiempo.
8. La extraordinaria relación entre las supercuerdas y Monstrous Moonshine (MM), la estructura matemática que crea un puente entre la teoría de grupos y la teoría de números, en matemática pura, es ya legendaria. MM relaciona formas modulares (funciones analíticas) con el grupo monstruo (se usa para estudiar ciertas simetrías en matemática). Las formas modulares se emplean en ciertos modelos de teoría de cuerdas para describir sus vibraciones. El grupo monstruo, a su vez, describe las simetrías del espacio donde estas cuerdas se mueven. La aparición inesperada de estas dos estructuras dentro de un modelo de supercuerdas ha permitido ampliar los horizontes de esta fascinante rama de la matemática. De hecho ya son inseparables.

Hay más ejemplos, muchos más, pero creo estos son suficientes para mostrarnos el gran poder matemático de la teoría de las supercuerdas.