¿Puedes explicar el controlador PID de manera sencilla para comprender su funcionamiento?

En palabras simples, el controlador PID son 3 monos tratando de manejar un vehículo, cada uno tirando el volante según su propio criterio.
Cada mono por separado es un peligro conduciendo, pero los 3 juntos manejan excelente.

De hecho el controlador PID es tan bueno, que se usa en casi todos los sistemas de automatización industrial hoy día.

En Teoría de Control, controlar un "proceso" consiste en hacer que su salida sea igual a un setpoint o respuesta esperada.
En la práctica y siguiendo el ejemplo arriba, un vehículo no puede adivinar las intenciones del conductor, y va a moverse en cualquier dirección. La diferencia entre lo que hace el auto y lo que el conductor espera que haga, se llama error. El error sirve de referencia al controlador para saber en qué dirección mover el volante, y con qué magnitud.

El controlador hace una acción de corrección, el vehículo responde con un nuevo error, y el ciclo se repite en forma iterativa hasta que el error sea inferior a un cierto umbral.

El controlador PID tiene 3 pilotos. Uno responde en forma Proporcional al error, otro responde a la Integral del error (error acumulativo), y el último en forma Diferencial, o sea responde a las variaciones del error. De ahí su nombre: Proporcional-Integral-Diferencial.

La parte Proporcional hace la acción más sencilla: simplemente multiplica el error por una constante, y usa ese resultado como corrección.
Si el vehículo se desvía a la derecha un ángulo de X grados, el controlador gira el volante a la izquierda Kp⋅XKp⋅X grados.

La parte Integral responde a la suma de errores pasados, o sea la integral del error sobre un intervalo. En otras palabras, reacciona a las desviaciones acumulativas aunque el error sea muy pequeño, tal como nos damos cuenta que el auto se está desviando a la derecha sin mirar el volante: basta con ver que la línea central se va a la izquierda del campo visual.

El error instantáneo puede ser mínimo, pero si es acumulativo, después de un tiempo produce una desviación o "deriva". El controlador Integral multiplica esa deriva (integral) por una constante KiKi, y la usa como corrección.

La parte Diferencial responde a la tasa de cambio del error, o sea aporta la rapidez de reflejos al controlador (ancho de banda). La corrección es el producto de la derivada del error, y una constante KdKd.
Mientras mayor sea la constante, más rápida y exagerada la reacción.

Las 3 correcciones, proporcional, integral y diferencial, se suman y se aplican como señal de control al proceso. Las constantes KpKp , KiKi y KdKd se calibran para que la respuesta sea lo más rápida, estable y sin oscilaciones (overshoot).