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Existen varias demostraciones conocidas de esto, la respuesta de es muy buena, da una explicación accesible y directa. Existe una forma un poco más sencilla de demostrar lo mismo, sin recurrir a ecuaciones diferenciales. Que usa únicamente la definición elemental de derivada y sus propiedades. Definamos la función de variable real y valores complejos:

f(x)=cosx+isinxeixf(x)=cos⁡x+isin⁡xeix

Esta función cumple trivialmente que f(0)=1f(0)=1 y vamos a ver que es constante por tanto esto implicará que para cualquier valor de xx tenemos f(x)=1f(x)=1, lo cual implica que siempre tenemos eix=cosx+isinxeix=cos⁡x+isin⁡x (identidad de Euler). Vamos a ver que f(x)f(x) es una función constante calculando su derivada y viendo que es cero:

f′(x)=(−sinx+icosx)(eix)−(cosx+isinx)(ieix)(eix)2=[(−sinx−i2sinx)+i(cosx−cosx)](eix)e2ix=0f′(x)=(−sin⁡x+icos⁡x)(eix)−(cos⁡x+isin⁡x)(ieix)(eix)2=[(−sin⁡x−i2sin⁡x)+i(cos⁡x−cos⁡x)](eix)e2ix=0

Como f′(x)=0f′(x)=0, la función f(x)f(x) debe ser constante y puesto que f(x)=f(0)=1f(x)=f(0)=1, tenemos que esa función es siempre 1, y eso sólo puede ser si se cumple la identidad de Euler. Una vez probada dicha identidad una sustitución trivial nos da el resultado buscado:

eiπ=cosπ+isinπ=−1+0⇒eiπ+1=0eiπ=cos⁡π+isin⁡π=−1+0⇒eiπ+1=0

Esta respuesta no es muy meritoria, porque en realidad es bastante conocida, y no es mérito mío haberla inventado, y aquí me he limitado a repetir la demostración que leí hace tiempo.