¿Cómo demostrarías que los naturales cumplen los axiomas de Peano con la función S: N->N si aquí N son los naturales y S la función sucesora?

La pregunta es bastante interesante, pese a que a priori parece que la respuesta de es impecable: los axiomas de Peano son la base sobre la que se definen los números naturales, motivo por el que no habría que demostrar nada.

Sin embargo, también es cierto que la construcción de la matemática entera desde bases mínimas de la Teoría de Conjuntos hizo que fuera necesario el esfuerzo de fundar los conjuntos numéricos (y especialmente el conjunto NN , del cual derivan todos los demás) de algo aún más básico que los axiomas de Peano.

Así se hizo, triunfando sobre todo la construcción de von Neumann, que sin hacer mención alguna de los axiomas de Peano, funda el conjunto NN sobre bases exclusivamente conjuntísticas. Esto viene a cuento de la pregunta porque desde tal construcción, los axiomas de Peano se convierten en teoremas.

Vayamos por partes:

CONSTRUCCIÓN DE VON NEUMANN DE LOS NATURALES

No se define el conjunto vacío ∅∅ como el conjunto de cero elementos, porque habría que mencionar el cero, y aún no sabemos qué es un número.

∅={x:x≠x}∅={x:x≠x}

Dado que ser igual a sí mismo es una ley lógica, hemos conseguido definir correctamente el conjunto vacío sin mencionar para nada al número 0.

1. Definimos el número 00 de la siguiente forma:
   
   0≡∅0≡∅
2. Definimos los naturales sucesivos de la siguiente manera:
   
   1≡{0}2≡{0,1}…7≡{0,1…,6}...1≡{0}2≡{0,1}…7≡{0,1…,6}...

En esta construcción la función sucesora consiste en que cada natural se define como el conjunto formado por todos los naturales menores que él:

s(a)=a∪{a}s(a)=a∪{a}

Este sucesor tiene todos los elementos de a, y uno añadido que no coincide con ninguno de los anteriores: el propio aa como elemento. Así pues, hemos dado con un método para construir un conjunto con un elemento más que otro dado, proceso que podemos repetir indefinidamente.

DEFINICIÓN DEL CONJUNTO NN

Se denomina conjunto NN al conjunto formado por el 00 y el sucesor de cualquiera de sus elementos.

Con estos elementos el axioma de Peano teoremas son demostrables, y lo son de modo casi trivial.

Concretamente:

El 0 es un número natural.

Trivialmente, por construcción

Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.

Trivialmente, por definición del conjunto NN

El 0 no es el sucesor de ningún número natural.

Trivialmente, por construcción

Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.

s(m)=s(n)⟹m∪{m}=n∪{n}⟹{m,(m−1),...,3,2,1}={n,(n−1),...,3,2,1}⟹m=ns(m)=s(n)⟹m∪{m}=n∪{n}⟹{m,(m−1),...,3,2,1}={n,(n−1),...,3,2,1}⟹m=n

Si el 0 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto.

Trivialmente, por definición del conjunto NN