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Este problema me pareció monumental al principio, pero después de considerar la posiblidad de usar el teorema integral de Cauchy se puede reducir a una computación directa usando variable compleja.

Para empezar usando la relación eiy=cosy+isinyeiy=cos⁡y+isin⁡y, tomando y=x2y=x2 tenemos:

∫∞0cosx2 dx+i∫∞0sinx2 dx=∫∞0eix2dx∫0∞cos⁡x2 dx+i∫0∞sin⁡x2 dx=∫0∞eix2dx

Ahora consideramos un dominio de integración en forma de sector circular ΩR={z∈C||z|<R,0≤arg z≤π/4}ΩR={z∈C||z| (esto es un sector de 45º situado sobre el primer cuadrante). Como en ese dominio la función eiz2eiz2 es holomorfa, debemos tener que la integral alrededor de la frontera de este dominio ΓR(=∂ΩR)ΓR(=∂ΩR) es idénticamente nula (esto es lo que afirma el teorema integral de Cauchy, que una función holomorfa integrada sobre un domino cerrado dará como resultado 0):

∫ΓReiz2dz=0,(∗)∫ΓReiz2dz=0,(∗)

Esta frontera consta de dos líneas (los lados del sector circular) y un arco de circunferencia CRCR, sobre la circunferencia |z|=R|z|=R, por tanto, la integal (∗)(∗) se puede calcular descomponiendo en tres integrales, una sobre cada una tres tramos (las dos líneas rectas y el arco de circunferencia). Para el arco de circunferencia se tiene:

∣∣∣∫CReiz2dz∣∣∣=∣∣∣∫π/40eiR2exp(2iθ)iReiθdθ∣∣∣≤R∫π/40e−R2sin2θdθ|∫CReiz2dz|=|∫0π/4eiR2exp⁡(2iθ)iReiθdθ|≤R∫0π/4e−R2sin⁡2θdθ

Si usamos el resultado conocido de que sinx≥2x/πsin⁡x≥2x/π para x∈[0,π/2]x∈[0,π/2], se deduce que:

∣∣∣∫CReiz2dz∣∣∣≤R∫π/40e−R2θ/πdθ=π4R(1−e−R2)→0|∫CReiz2dz|≤R∫0π/4e−R2θ/πdθ=π4R(1−e−R2)→0

Es decir, en el límite R→∞R→∞ esta expresión tiende a cero. En ese mismo límite, por tanto, tenemos que contando las contibuciones de los dos lados rectos del sector circular:

0=∫ΓReiz2dz=∫∞0eix2dx−∫∞0eix2exp(iπ/2)eiπ/4dx0=∫ΓReiz2dz=∫0∞eix2dx−∫0∞eix2exp⁡(iπ/2)eiπ/4dx

Es decir tenemos que:

∫∞0eix2dx=eiπ/4∫∞0e−x2dx=eiπ/4π−−√2∫0∞eix2dx=eiπ/4∫0∞e−x2dx=eiπ/4π2

Donde se ha usado el resultado conocido para la última integral de e−x2e−x2. Finalmente tomando la parte real e imaginaria en la última ecuación llegamos al resultado buscado:

∫∞0cosx2 dx=π−−√2cosπ4=2π−−√4∫0∞cos⁡x2 dx=π2cos⁡π4=2π4

∫∞0sinx2 dx=π−−√2sinπ4=2π−−√4∫0∞sin⁡x2 dx=π2sin⁡π4=2π4