¿Qué fenómenos ha predicho la teoría relatividad que se han podido comprobar?

Bastantes.

Nombraré algunos fenómenos que conozco y que creo que no son excesivamente complicados.

1. Anomalía del perihelio del planeta Mercurio.
Bueno, quizá esto no sea exactamente una "predicción" porque la órbita de Mercurio ya se había observado antes de la teoría de la Relatividad.
El perihelio es el punto de la órbita más cercano al Sol y se había observado cierto cambio en dicho perihelio.
Entonces podría sospecharse que dicha Teoría de la Relatividad fuese un "artificio" para que encajasen datos observados previamente y no algo que realmente predice cosas no observadas antes.
Aunque no sea "predicción" lo puse en primer lugar por ser el primer fenómeno observable que encaja o "predice" la teoría y que no conseguían explicar otras teorías, como la de Newton.

2. Aparente desplazamiento de la posición de las estrellas, observado en el eclipse solar de 1919.
La Relatividad General afirma que la masa deforma el continuo espacio-tiempo, y, como consecuencia de esto, predice que la trayectoria de la luz se curva (la luz no va recta) cuando pasa cerca de algo muy pesado. Algo muy pesado que tenemos "más o menos cerca" es el Sol y el Sol debería curvar los rayos de luz que vienen de las estrellas, cuando dichos rayos pasan cerca del Sol.
Ahora bien, como el Sol emite luz que recibimos con mucha mayor potencia que la de las estrellas, para observar si esa luz de las estrellas se curva o no solamente se puede hacer en caso de eclipse solar total, es decir, cuando la Luna tapa totalmente la luz del Sol… y así podemos ver luz de estrellas que pasa cerca del Sol sin ver la propia luz del Sol.
En 1919 se comprobó no solamente un desplazamiento de estrellas, sino que el desplazamiento coincidía con mucha exactitud con el que predecía la Teoría de la Relatividad General.

Una foto del eclipse de 1919 tomada desde la isla de Príncipe en la expedición de Sir Arthur [Stanley] Eddington. [1]

Esta sería la primera predicción real, es decir, de algo no observado previamente.

Un fenómeno muy similar son lo que se llaman "lentes gravitacionales", es decir, objetos con gravedad que deforman las imágenes.

"Cruz de Einstein" : 4 imágenes de un mismo objeto debidas al efecto de una lente gravitacional.

3. Los agujeros negros. [2]
La teoría permite predecir (aunque no lo predijo el propio Einstein) que pueden existir condiciones en las que la luz no puede escapar.
Más tarde fueron observados, y recientemente, en abril de 2019, tenemos la primera imagen de un agujero negro real.

Dicha imagen aunque fue formada por computadoras, se hizo uniendo los datos reales captados por múltiples telescopios.

4. Dilatación gravitacional del tiempo.
Se comprobó en relojes atómicos, los más precisos, situados en condiciones de baja gravedad terrestre, es decir, muy alejados del centro de la Tierra, a una gran altura.
Por ejemplo, el tiempo en los satélites de GPS [3] va más rápido. Ahora bien, la gravedad no es lo único que afecta al tiempo, también la velocidad relativa de los satélites. Véase la imagen siguiente:

Sin la Teoría General de la Relatividad no funcionaría bien el sistema GPS que hoy en día se usa mucho en los teléfonos.

El GPS es un ejemplo típico pero hoy en día hay muchos satélites artificiales: televisión, meteorología, telescopios, experimentos, GLONASS, Galileo, etc.

5. Las ondas gravitacionales.
Las ecuaciones permiten predecir unas ondas de gravedad y el propio Einstein lo predijo en el año 1916, hace más de 100 años. Y recientemente, en 2015 (99 años después de la predicción de Einstein), dichas ondas fueron observadas de forma directa [4] . Antes habían sido observadas de forma indirecta (por efectos que producían en otros fenómenos observados) y se concedió un Premio Nobel de Física en 1993.
El Premio Nobel de Física de 2017 se entregó por la observación directa de dichas ondas mediante el LIGO y el Virgo (interferómetros LASER).

Más:
he visto que la Wikipedia recopila diversas predicciones de dicha teoría.

https://es.wikipedia.org/wiki/Relatividad_general#Predicciones_de_la_relatividad_general

En la Wikipedia en inglés: consecuencias de la Teoría General de la Relatividad.

https://en.wikipedia.org/wiki/General_relativity#Consequences_of_Einstein's_theory

Notas al pie