son números naturales consecutivos". ¿Verdadero o falso?

A2A*. Sí, es cierto, vamos a dar algunos ejemplos primero y luego lo demostramos (es fácil de demostrar, de hecho):

62−52=11, 72−62=13, 92−82=17, 102−92=19, 122–112=2362−52=11, 72−62=13, 92−82=17, 102−92=19, 122–112=23

Todos estos resultados son números primos y tenemos que son diferencias de cuadrados de dos números consecutivos. Ahora nos faltaría ver si puede obtenerse un número primo como resta de dos cuadrados perfectos a2−b2a2−b2 sin que aa y bb sean consecutivos. La proposición de partida se puede escribir como P⇒QP⇒Q, donde P = sería “a2−b2a2−b2 es primo” y Q sería “aa y bb son consecutivos”. Resulta que P⇒QP⇒Q es lógicamente equivalente a no-Q⇒no-Pno-Q⇒no-P por lo que vamos a demostrar esta segunda cosa, porque es algo más fácil y para ver si hay contra ejemplos a los resultados que pusimos más arriba. Está claro que como a>ba>b (ya que su diferencia debe ser positiva), por lo que podemos escribir:

a=b+ka=b+k

Como estos números no serían consecutivos (estamos asumiendo no-Q) entonces está claro que k≥2k≥2, ahora calculamos:

a2−b2=(b+k)2−b2=b2+2kb+k2−b2=(2b+k)ka2−b2=(b+k)2−b2=b2+2kb+k2−b2=(2b+k)k

Este número es compuesto porque es el producto de k>2k>2 y 2b+k>22b+k>2 y por tanto no es primo, hemos visto por tanto no-Q⇒no-Pno-Q⇒no-P lo que es lo mismo que P⇒QP⇒Q y es lo que queríamos ver.