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No es fácil.
En general, muchos dominios de convergencia de fórmulas de recurrencia con números complejos son de tipo fractal.

El más famoso sería el conjunto de Mandelbrot, que responde a la fórmula del tipo:

zn+1=z2n+azn+1=zn2+a

Siendo z0=0z0=0

Nótese que partir de ese punto inicial es equivalente, a efectos de convergencia, a si hubiésemos partido de z0=az0=a porque si z0=0z0=0 sería z1=az1=a

En el caso de la pregunta, la fórmula de recurrencia es:

xn+1=axnxn+1=axn

Y no dice cuál es x0x0 pero en este caso, si x0=0x0=0

x0=0⟹x1=a0=1⟹x2=a1=ax0=0⟹x1=a0=1⟹x2=a1=a

lo que significa que esos 3 valores de partida (0, 1 y a) producen la misma convergencia, siendo el 0 el valor más típico, al menos para casos como el conjunto de Mandelbrot.

Se observa que si seguimos la recurrencia resulta:

x3=aa⟹x4=a(aa)⟹x5=a(a(aa))x3=aa⟹x4=a(aa)⟹x5=a(a(aa))

Y eso es lo que se llama tetración… o, en inglés, tetration, de la que ya hablé en otras respuestas, como la del Googolplexian o una ecuación del tipo "x^x^x".

Por tanto, con la notación flecha arriba de Knuth se podría escribir como:

xn+1=a↑↑nxn+1=a↑↑n

Pero sabiendo la notación no sabemos el dominio de convergencia… aunque sabiendo por culturilla general que estas fórmulas producen "monstruos" o "bichos" llamados fractales no esperaba encontrar una solución geométrica digamos algebraica ni con fórmulas elementales… así que ni lo intenté… (anda, que si no hubiese sabido eso, menudas horas muertas podría haber pasado intentándolo xDDD)
Sin embargo, saber que es un tetration de un número complejo y que buscamos la convergencia, con eso basta para hacer búsquedas en Google y llegar a páginas de Wikipedia como esta:

https://en.wikipedia.org/wiki/Tetration#Complex_bases

Donde se puede ver esta imagen:

que representa justamente con colores el conjunto de puntos de una región del plano complejo que se van a infinito (creo que el código de color indica lo "rápido que huye hacia infinito")… siendo el color negro todos los puntos que no se van a infinito, el dominio de convergencia pedido en la pregunta. Como me esperaba era un "bicho raro", un fractal.

Según los detalles de la imagen, la región concreta que muestra es entre -4.5 y 3.5 y entre -3i y 3i

En caso de no haberlo encontrado en Wikipedia, podría haber recurrido a un software matemático que permita escribir cualquier fórmula de recurrencia, ya sea software específico de fractales como el viejo Fractint, o ya sea un lenguaje de programación (ej: Python) o un entorno de software matemático, como MATLAB / Octave u otros… [1]

Añado: Al final lo hice, con Octave. Tardó como 10 minutos, porque tiene que calcular casi un millón de píxeles… y en cada uno 64 iteraciones.

Al menos el código de colores que puse no es tan feo ¿no?
Aunque si se gira 90 grados parece una calavera con corona de rey… ya que se aprecian una especie de ojos (o cavidades oculares), nariz (o tabique nasal) y boca…
O una especie de "sábana santa" matemática donde el cristo tiene pelo largo, barba y corona de espinas. xD
Menudo auto-test de Rorschach que me acabo de hacer, para que venga un psicólogo y me diga que estoy obsesionado con la monarquía, con la religión y con los muertos.
Ya puestos, podría haber dicho que el "ocho" al girarlo y estar debajo de la cabeza parecen dos grandes pechos.

El negro son los valores que tras 64 iteraciones el módulo de x65=a↑↑64x65=a↑↑64 no ha superado el valor 6. Los colores oscuros, como el de (3.5, 0) son los que salen del valor 6 en pocas iteraciones (3.5^3.5 ya es mayor que 6) y los colores claros son los que necesitan muchas iteraciones para escaparse, tanto más claro como mayor es el número de iteraciones.
Y ahora un zoom de una parte, entre 0.98 y 1.34, y entre 2.6i y 2.9i.
(el 2.9 es un poquito más que el número e… que si no me equivoco sería el límite marcado por las circunferencias del "ocho" mágico).
Se trata de un "cuerno" de la parte baja del "ocho".
(bueno, en realidad la imagen muestra el eje imaginario al revés, y por eso los valores entre 2.6i y 2.9i aparecen abajo)

Una capilaridad como arterias que parecen ciempiés y unas espirales muy interesantes ¿verdad?

Y ahora una representación 3D aparte de los colores.

Como unas escaleras espirales de peldaños cada vez más pequeños y oscuros.
Me recordó un poco a la Calzada de los Gigantes de Irlanda del Norte.

Añado más sobre las imágenes como de rostros obtenidas al girar y ampliar.

Ahí la figura estilo calavera con pelo largo, barba y una corona encima…
La “corona” de arriba parece tener en el centro, en rojo, un símbolo con 6 extremos que parecen dos piernas, dos brazos y los dos restantes podrían ser alas como de un ángel… O también podría parecer un hombre en una cruz, crucificado.
El contorno exterior de la “corona” tiene como forma de estrella que según se mire podría tener 5 o 6 puntas. Es como si las dos puntas de una estrella de 6 puntas se doblasen juntándose en una punta superior.
La estrella de 6 puntas, también llamada “hexagrama” a veces se llama estrella de David, y suele ser símbolo del judaísmo, por el rey David, rey de Israel, el que siendo joven mató al gigante Goliat. Y siendo rey parece lógico que tenga corona ¿no?.
Por otro lado, la estrella de 5 puntas, también llamada “pentagrama” o también “pentáculo” o “pentalfa”, es el tipo de estrella más popular, quizá porque se asemeja a un ser humano: 2 piernas, 2 brazos y 1 cabeza = 5 “puntas”; o quizá por los 5 dedos de cada mano. Se asocia a la ‘magia’ en general, aunque viene de muy antiguo, desde los sumerios, pasando por los pitagóricos, más tarde algunos alquimistas de la Edad Media o el Renacimiento y más recientemente también en el neopaganismo y la Wicca, en algunos casos con un círculo. En estos casos la estrella es simétrica con la punta hacia arriba. Esta estrella de 5 puntas y el pentágono tienen bastante relación con el número Phi, la proporción aúrea.
No deja de ser curioso también que toda la figura completa parece basarse en un triángulo como la Torre Eiffel aunque con cierto aire a torre eléctrica.

Y si se da la vuelta (véase abajo) parece un demonio con largos cuernos de punta, con una especie de signo de calavera roja más pequeña en la frente (y que tiene como un turbante), una especie de cangrejo o símbolo de cuernos en la parte de arriba de la cabeza y en la boca una especie de estrella de cinco puntas invertida. La estrella de cinco puntas se llama “pentagrama” y cuando está invertida se suele asociar a lo maligno, lo satánico.
Aparte de los cuernos, puede verse que en general tiene forma de triángulo invertido, como la cabeza de una cabra, incluso con barbitas de chivo a los lados de la barbilla.
Se habla de BAPHOMET para referirse a una figura con cabeza de cabra, que a veces se representa con el pentáculo invertido, siendo los cuernos las dos puntas superiores y la barbilla la punta inferior, y las dos puntas restantes a veces se asocian a las orejas de la cabra, pero podrían ser las basbas laterales.

Notas al pie