¿Cómo puedo factorizar el polinomio (con todo y procedimiento): (x^20 - x^10 + 1)? La respuesta es igual (x^4 - x^2 + 1) (x^16 + x^14 - x^10 - x^8...

¿Cómo puedo factorizar el polinomio (con todo el procedimiento):

(x²⁰-x¹⁰+1) ?

La respuesta es igual (x⁴-x²+1) (x¹⁶+x¹⁴-x¹⁰-x⁸-x⁶+x²+1) según Wolfram Alpha, pero necesito saber el procedimiento de obtención de esa respuesta.

NOTA IMPORTANTE:

Los algoritmos numéricos que puede emplear un ordenador para descomponer un polinomio de coeficientes enteros (o solo racionales) en producto de polinomios de coeficientes enteros (o bien, racionales) suelen involucrar a menudo, incluso con datos no muy grandes, centenares y a veces millares o millones…o millares de millones…de pruebas, siempre en cantidad finita, pero prácticamente inabarcables para una persona; razón por la cual esos métodos, conocidos por lo menos desde el siglo XIX, dormían el sueño de los justos, hasta que la cibernética entró en escena y los revitalizó, puesto que la actualmente vertiginosa velocidad de cálculo resolvió en segundos operaciones numéricas que antes podían requerir meses o años.

Hay un método válido para descomponer polinomios de coeficientes enteros en factores polinomios de grado inferior y coeficientes enteros, siempre que sea posible, es decir, que exista tal descomposición: el viejo método de Kronecker (1823–1891), que probablemente es el usado por Wolfram Alpha, o tal vez use ese mismo método convenientemente modificado para incrementar la velocidad de cálculo, aunque las aplicaciones informáticas incluidas las de acceso público, rara vez cuentan sus "recetas de cocina", y se limitan a ofrecer el servicio de cálculo sin revelar el software empleado en la cocina, ni mucho menos sus limitaciones.

El método es muy sencillo de comprender, pero conduce a cálculos tediosos si se realizan a mano; su fundamento es acotar los coeficientes buscados en los candidatos a polinomio divisor y probar, para cada grado inferior al del polinomio, de todos los modos posibles, todas las combinaciones de coeficientes aceptables en un principio, usando la totalidad de los divisores de determinados enteros variables; después, conocido el valor del polinomio divisor buscado en una cantidad de valores de su indeterminada superior al grado del polinomio, se pueden computar sus coeficientes explícitamente; se divide por este divisor y se sigue descomponiendo en lo posible el polinomio cociente; no me extiendo en esto, porque sería objeto de otra pregunta, pero de hecho, desde el punto de vista del "procedimiento", se considera actualmente un procedimiento al programa informático en sí, o bien al propio método empleado, sea el de Kronecker u otro análogo.

Puede consultarse el método de Kronecker en el excelente y monumental tratado clásico de Gustave VERRIEST (profesor de la Universidad de Lovaina), LEÇONS SUR LA THÉORIE DES EQUATIONS SELON GALOIS (Paris, Gauthier - Villars 1939 - Hay una reimpresión moderna de Jacques GABAY).

Sin embargo, en este caso concreto que plantea la pregunta podemos darnos el lujo de atacar el problema "mejorando" a las máquinas, es decir, resolviendo completamente la ecuación que se obtiene igualando a cero el polinomio propuesto, lo que nos da todas las factorizaciones posibles de dicho polinomio. Eso no suelen hacerlo los programas como Wolfram Alpha, no porque no puedan, sino porque para lograrlo se requiere razonar matemáticamente, y no solo calcular mecánicamente. Para poder efectuar esta tarea automáticamente en un ordenador éste debería emplear un software mucho más complicado, aunque factible, y que además solo serviría para casos sumamente excepcionales, como éste. Y no vale la pena tanto trabajo, y tan fino, según criterios empresariales, ya que el rendimiento sería muy pequeño en comparación con su coste.

SOLUCIÓN EXACTA:

x²⁰ - x¹⁰+1 es un polinomio de grado vigésimo, que (en el campo de los números complejos C, usualmente sobrentendido si no se especifica otro explícitamente) tiene 20 raíces, por el teorema fundamental del álgebra clásica. Además es fácil ver que no hay raíces múltiples, son todas distintas, como indica la derivada del polinomio, si se calcula el MCD de esta derivada y del propio polinomio, de acuerdo al algoritmo standard.

Su factorización en factores lineales, siendo p(x) ≡ x²⁰ - x¹⁰+1 , será:

p(x) ≡ (x-x₁) (x-x₂) …(x-x₂₀).

Como se sabe, si agrupamos de dos en dos los binomios correspondientes a raíces complejas conjugadas, podremos descomponer el polinomio dado en factores cuadráticos y algunos lineales si es que hay raíces reales simples o múltiples, además de las imaginarias.

Para encontrar todas esas 20 raíces, debemos resolver la ecuación

x²⁰ - x¹⁰+1 = 0 ; en general, la resolución de ecuaciones de grado mayor que 4 no es posible mediante fórmulas algebraicas, es decir, que incluyan operaciones racionales en cantidad finita sobre los coeficientes, y cualquier número (finito) de radicales combinados con dichas operaciones racionales. Tampoco suelen ser resolubles mediante funciones elementales en cantidad finita (salvo muy raras excepciones); entendiendo por "funciones elementales", entre otras, las logarítmicas, trigonométricas (directas o inversas), exponenciales, o hiperbólicas (directas o inversas) o sus combinaciones con ellas mismas y con las algebraicas, todas en cantidad finita.

En el caso presente, afortunadamente, sí que podemos resolver por radicales, es decir, algebraicamente, la ecuación de vigésimo grado, debido a la particularidad de que es una ecuación trinomia inmediatamente reducible a cuadrática.

Entre las ecuaciones trinomias reducibles a cuadráticas están las famosas

bicuadradas : ax⁴+bx²+c=0 ; pero también las bicúbicas: ax⁶+bx³+c=0 ;

bicuárticas : ax⁸+bx⁴+c=0 … etc. y en general, ax² ⁿ+ bx ⁿ+ c = 0 .

El cambio de variable que las reduce a cuadráticas es y = x ⁿ .

Y resulta que la ecuación de la pregunta presente es bi-décica (si existe esa palabra…), o más simplemente expresado, es cuadrática en x¹⁰.

Efectuando el cambio de variable x¹⁰ = y → x²⁰ = y² →

la ecuación x²⁰ - x¹⁰+1 = 0 se transforma en y²-y+1=0.

La solución completa de esta cuadrática es y = 1/2 ± i √3 / 2 .

Estos dos números complejos conjugados son muy conocidos (o deberían serlo…); de hecho, son las dos raíces cúbicas imaginarias de la unidad negativa, -1.

Una manera rápida de comprobarlo es multiplicar (y²-y+1) por el binomio correspondiente a la otra raíz cúbica de -1, la que es real = -1; es decir, el binomio (y+1) :

(y²-y+1) (y+1) = y³+1 ; por eso, si y²-y+1=0 → y³+1 = 0 .

Esta última ecuación cúbica admite tres soluciones distintas, una de ellas real = -1, y su solución completa puede expresarse por y = ³√((-1)), donde el doble paréntesis significa que elegimos todos los tres valores posibles de la raíz cúbica.

Y como las raíces de y²-y+1=0 no son reales, se trata por tanto de las dos raíces cúbicas imaginarias de -1.

Otra forma de verlo sería recordar que las dos raíces cúbicas imaginarias de la unidad son → ω = -1/2 + i √3 / 2 ; ω² = -1/2 - i √3 / 2 ; por tanto, las raíces cúbicas imaginarias de -1 serán las opuestas, es decir,

-ω = 1/2 - i √3 / 2 ; -ω² = 1/2 + i √3 / 2 .

Deshaciendo el cambio (x¹⁰ = y ) la ecuación de grado 20 se desdobla en dos de grado 10 → x¹⁰ = -ω ; (1) o bien, x¹⁰ = -ω² ; (2)

De aquí deducimos varias cosas:

1. La ecuación de vigésimo grado no tiene ninguna raíz real, puesto que la potencia décima de cualquier número real es otro número real, nunca es -ω, ni -ω², que son imaginarios.
2. Puesto que 1/(-ω) = -1/ω = -ω²/ω³ = -ω²

[recordemos que ω³ = 1] las raíces de la ecuación (2) son respectivamente, las inversas de las raíces de la ecuación (1) :

es decir, si x¹⁰ = -ω → (1/x)¹⁰ = 1/x¹⁰ = 1/(-ω) = -1/ω = -ω² , de modo que 1/x es raíz de (2). Así que las raíces de la ecuación de grado 20 son las diez raíces de (1) y sus diez inversas, raíces de (2) .

Podíamos haber notado esta propiedad desde el principio :

la ecuación x²⁰ - x¹⁰+1 = 0 es recíproca, o sea, si se verifica para cierto valor

x=a también se verifica para x=1/a, y esto se debe a la igualdad de los coeficientes equidistantes de los extremos, que en este caso son (los no nulos) ambos iguales a 1.

Todo queda, por tanto, reducido a resolver la ecuación binomia

x¹⁰ = -ω .

Como es sabido, lo más práctico para resolver una ecuación binomia de grado n suele ser calcular una sola raíz n-ésima del segundo miembro, y multiplicarla por las n raíces n-ésimas de la unidad. En adelante empleamos como unidad más intuitiva los grados sexagesimales, al menos para este caso, más cómodos que los radianes. Recordando que

-ω = 1/2 - i √3 / 2 = cos 60º - i sen 60º = cos (-60º) + i sen (-60º) =

[sumando 360º para hacer positivo el argumento]

= cos 300º + i sen 300º, de manera que la ecuación binomia será

x¹⁰ = cos 300º + i sen 300º → una raíz será (por la Fórmula de Moivre)

x₁ = ¹⁰√(cos 300º + i sen 300º) = cos (300º/10) + i sen (300º/10) →

x₁ = cos 30º + i sen 30º = √3 / 2 + i * (1/2).

Las diez raíces décimas de la unidad positiva son:

¹⁰√1 = { ζ, ζ², ζ³, …, ζ¹⁰ = 1 }, donde ζ es cualquier raíz primitiva décima de 1.

Por ejemplo, ζ = cos (360º/10) + i sen (360º/10) , es decir,

ζ = cos 36º + i sen 36º = (1/4) (1+√5) + i * (1/4) √(10–2√5)

RAÍCES DE LA ECUACIÓN (1) . Las diez raíces distintas son:

x₁ = cos 30º + i sen 30º

x₂ = ζ x₁ = (cos 36º + i sen 36º) (cos 30º + i sen 30º) = cos 66º + i sen 66º

x₃ = ζ x₂ = cos 102º + i sen 102º

(los argumentos van en progresión aritmética, sumando siempre 36º )

x₄ = ζ x₃ = cos 138º + i sen 138º

x₅ = ζ x₄ = cos 174º + i sen 174º

x₆ = ζ x₅ = cos 210º + i sen 210º

x₇ = ζ x₆ = cos 246º + i sen 246º

x₈ = ζ x₇ = cos 282º + i sen 282º

x₉ = ζ x₈ = cos 318º + i sen 318º

x₁₀ = ζ x₉ = cos 354º + i sen 354º

RAÍCES DE LA ECUACIÓN (2) : (Todos los complejos de módulo 1 tienen como inverso su conjugado, pues (a+bi)(a-bi) = a²+b² = 1)

1/x₁ = cos 30º - i sen 30º

1/x₂ = cos 66º - i sen 66º

1/x₃ = cos 102º - i sen 102º

1/x₄ = cos 138º - i sen 138º

1/x₅ = cos 174º - i sen 174º

1/x₆ = cos 210º - i sen 210º

1/x₇ = cos 246º - i sen 246º

1/x₈ = cos 282º - i sen 282º

1/x₉ = cos 318º - i sen 318º

1/x₁₀ = cos 354º - i sen 354º

DESCOMPOSICIÓN DEL POLINOMIO DADO (en factores lineales) :

x²⁰ - x¹⁰+1 ≡ (x-x₁)(x-1/x₁) * (x-x₂)(x-1/x₂) * (x-x₃)(x-1/x₃) *

* (x-x₄)(x-1/x₄) * (x-x₅)(x-1/x₅) * (x-x₆)(x-1/x₆) * (x-x₇)(x-1/x₇) *

* (x-x₈)(x-1/x₈) * (x-x₉)(x-1/x₉) * (x-x₁₀)(x-1/x₁₀).

Esta descomposición es mucho más fina que la que da Wolfram Alpha, y como es la más fina posible, es decir, es la descomposición en factores lineales, permite asociarlos de todos los modos posibles, en particular en parejas de binomios conjugados, para obtener una descomposición en factores cuadráticos con coeficientes reales.

En general, para cada k entre 1 y 10 ambos inclusive, es

(x-xₖ)(x-1/xₖ) ≡ x² - (xₖ+1/xₖ) x + 1 ; pero por ser conjugados, es

xₖ+1/xₖ = 2 Re (xₖ) (doble de la parte real de xₖ).

Así, por ejemplo, (x-x₁)(x-1/x₁) ≡ x² - (x₁+1/x₁) x + 1 ≡

≡ x² - (2 cos 30º) x + 1,

de manera que agrupando así todos los binomios, dos a dos, será:

x²⁰ - x¹⁰+1 ≡ [x² - (2 cos 30º) x + 1 ] * [x² - (2 cos 66º) x + 1 ] *

* [x² - (2 cos 102º) x + 1 ] * [x² - (2 cos 138º) x + 1 ] *

* [x² - (2 cos 174º) x + 1 ] * [x² - (2 cos 210º) x + 1 ] *

* [x² - (2 cos 246º) x + 1 ] * [x² - (2 cos 282º) x + 1 ] *

* [x² - (2 cos 318º) x + 1 ] * [x² - (2 cos 354º) x + 1 ]

Siendo ésta la descomposición del polinomio de vigésimo grado como producto de 10 factores polinomios cuadráticos, todos ellos con coeficientes reales. Es más, todos los cosenos se pueden expresar por medio de operaciones racionales y radicales cuadráticos en cantidad finita, es decir, podemos eliminar todo rastro de funciones trigonométricas, sustituyendo cada coseno por su expresión aritmética exacta, aunque irracional, de acuerdo a la siguiente tabla (sencilla de calcular a mano).

cos 30º = √3 / 2 ; cos 66º = (√3/8)(1+√5)-(1/8)*√(10-2√5)

cos 102º = -(1/8)*√(10+2√5) + (√3/8)(-1+√5) ;

cos 138º = -(1/8)*√(10+2√5) - (√3/8)(-1+√5)

cos 174º = -(1/8)*√(10-2√5) - (√3/8)(1+√5)

cos 210º = -√3/2 ; cos 246º = - (√3/8)(1+√5) + (1/8)*√(10-2√5)

cos 282º = (1/8)*√(10+2√5) - (√3/8)(-1+√5)

cos 318º = (1/8)*√(10+2√5) +(√3/8)(-1+√5)

cos 354º = (1/8)*√(10-2√5)+(√3/8)(1+√5)

Si además queremos encontrar la descomposición en dos polinomios que sugiere la pregunta, con todos los coeficientes enteros, observemos si algún producto de trinomios cuadráticos tiene esta propiedad, para lo cual, observando la tabla, vemos que los valores de los cosenos son opuestos dos a dos, es decir, que

cos 210º = - cos 30º ; así como cos 246º = -cos 66º; y también

cos 282º = -cos 102º…etc. lo cual podía preverse porque se trata de ángulos cuya diferencia es 180º. De ese modo, si x-y=180º → x = 180º+y →

cos x = cos (180º+y) = cos 180º cos y - sen 180º sen y= (-1) cos y = -cos y,

que es lo que se quería demostrar.

Sin embargo, agrupando de dos en dos los trinomios con coeficientes de x opuestos, el único par que al agruparse da coeficientes enteros es:

[x² - (2 cos 30º) x + 1 ] * [x² - (2 cos 210º) x + 1 ] ; en efecto, si ponemos, en general,

[x² - (2 cos φº) x + 1 ] * [x² + (2 cos φº) x + 1 ], representemos

cos φ = a → el producto será:

(x²-2ax+1) * (x²+2ax+1) ≡ x⁴ + (2–4a²) x² + 1.

Y para que sea entero el coeficiente central, 2–4a² no vale para a (que es un coseno de los ángulos ya consignados) más que el valor de a = cos 30º = √ 3/2, que da 2–4a² = 2 - 4*3/4 = -1; porque es evidente que las otras agrupaciones con radicales dobles se complican extraordinariamente con números irracionales que no pueden simplificarse de manera que salga un entero o ni siquiera un racional.

Así pues, uno de los polinomios factores, y con coeficientes enteros, del polinomio dado es

[x² - (2 cos 30º) x + 1 ] * [x² - (2 cos 210º) x + 1 ] ≡

[x² - x√ 3 + 1 ] * [x² + x√ 3 + 1 ] ≡ x⁴ - x² + 1, que es el polinomio que da Wolfram Alpha, y dividiendo por este divisor el polinomio dado, de vigésimo grado, obtenemos el polinomio irreducible citado en el texto de la pregunta (irreducible en los racionales, pero no en los reales ni en los complejos) →

(x²⁰ - x¹⁰+1) / (x⁴ - x² + 1) ≡ x¹⁶ + x¹⁴-x¹⁰-x⁸-x⁶+x²+1, de modo que tenemos la descomposición factorial, con todos los coeficientes enteros:

x²⁰ - x¹⁰+1 ≡ (x⁴ - x² + 1) * (x¹⁶ + x¹⁴-x¹⁰-x⁸-x⁶+x²+1), que era lo que la pregunta pedía deducir.