4. Dado el sistema (S) :  2x1 + x2 = 0, −x1 + 2x3 = 0, 2x1 + 2x2 + kx3 = 0, obtenga a) El valor de la constante k de modo que S admita soluc...

a) El valor de la constante k para que el sistema (S) admita soluciones no triviales es k=−2.

Para ver esto, podemos resolver el sistema para x1

​ y x2

​ en términos de x3

​. Tenemos:

x_1 = -\frac{1}{2}x_2
x_1 = \frac{1}{2}x_3

Substituyendo la primera ecuación en la segunda, obtenemos:

x_1 = \frac{1}{2}x_3
-\frac{1}{2}x_2 = \frac{1}{2}x_3

De esta ecuación, se deduce que x2

​=x3

​. Por lo tanto, las soluciones del sistema son de la forma (x1

​,x2

​,x3

​)=(α,α,α), donde α es cualquier número real.

Si k

=−2, entonces el sistema (S) tendrá sólo soluciones triviales, es decir, la solución será (0,0,0).

b) La solución general del sistema (S) para k=−2 es:

(x_1, x_2, x_3) = (\alpha, \alpha, \alpha)

donde α es cualquier número real.

c) La solución general del sistema (S) para cualquier otro valor de k es (0,0,0).