3 a) Sean B1 y B2 bases de un espacio vectorial V. Demuestre: “Si A es la matriz de transición de B1 a B2 entonces la inversa de A es la matriz de ...

a) Sean B1 y B2 bases de un espacio vectorial V. Demuestre: “Si A es la matriz de transición de B1 a B2 entonces la inversa de A es la matriz de transición de B2 a B1”.

La matriz de transición de B1 a B2 es la matriz que transforma las coordenadas de un vector en la base B1 a las coordenadas del mismo vector en la base B2. La inversa de la matriz de transición de B1 a B2 es la matriz que transforma las coordenadas de un vector en la base B2 a las coordenadas del mismo vector en la base B1.

Para demostrar que la inversa de la matriz de transición de B1 a B2 es la matriz de transición de B2 a B1, podemos usar el siguiente argumento:

• Si A es la matriz de transición de B1 a B2, entonces A * v = v', donde v es un vector en B1 y v' es el vector en B2 que tiene las mismas coordenadas que v.
• La inversa de A es la matriz que transforma las coordenadas de un vector en la base B2 a las coordenadas del mismo vector en la base B1.
• Por lo tanto, la inversa de A * v = v', es decir, A^(-1) * v' = v.
• Esto significa que A^(-1) es la matriz de transición de B2 a B1.

Por lo tanto, hemos demostrado que la inversa de la matriz de transición de B1 a B2 es la matriz de transición de B2 a B1.

b) Sea

B = (-2, 2, 1), (1, 0, 1)

una base de 3R tal que las coordenadas del vector

v = (-4, 5, 2)

en la base B son

v' = (-1, 3, 2)
```.

Encuentre el vector v y halle las coordenadas del vector

w = (0, 1, 0)

en base B.

Para encontrar el vector v, podemos resolver el sistema de ecuaciones

v' = Av

donde A es la matriz de transición de B1 a B2. El sistema de ecuaciones es

(-2, 2, 1) * v = (-1, 3, 2)

Resolviendo el sistema usando el método de Gauss-Jordan, obtenemos v = (-1, 2, 3).

Para encontrar las coordenadas del vector w en base B, podemos usar la matriz de transición de B1 a B2. La matriz de transición es

A = (-2, 2, 1), (1, 0, 1)

Por lo tanto, las coordenadas de w en base B son

w' = A * w = (-2, 2, 1) * (0, 1, 0) = (0, 2, 1)