4 a) a1) Sea T una transformación lineal, T:VW. Defina el núcleo de T y demuestre que es subespacio de V. a2) De las siguientes transformaciones l...

a1) El núcleo de una transformación lineal T:VW es el conjunto de todos los vectores v en V tales que T(v) = 0. Se demuestra que el núcleo es un subespacio de V mostrando que es cerrado bajo la suma y la multiplicación por escalares.

Para mostrar que el núcleo es cerrado bajo la suma, sea v1 y v2 dos vectores en el núcleo. Entonces T(v1) = 0 y T(v2) = 0. Esto significa que T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) = 0 + 0 = 0. Por lo tanto, v1 + v2 también está en el núcleo.

Para mostrar que el núcleo es cerrado bajo la multiplicación por escalares, sea k un escalar y v un vector en el núcleo. Entonces T(v) = 0. Esto significa que T(kv) = k T(v) = k 0 = 0. Por lo tanto, kv también está en el núcleo.

Por lo tanto, el núcleo es un subespacio de V.

a2) La única transformación lineal de las tres opciones que tiene dimensión 1 es la transformación T:R2R, donde T(x,y) = y. Esta transformación tiene dimensión 1 porque su rango es un espacio lineal de dimensión 1. El rango de T es el conjunto de todos los vectores que pueden ser representados como T(v) para algún vector v en R2. En este caso, el rango de T es el conjunto de todos los vectores (y,0) para algún escalar y. Este conjunto es un espacio lineal de dimensión 1.

b) Sea A =

[-1 0 1]
[1 1 0]
[1 2 1]

la matriz de una transformación lineal T:R3R3. El núcleo de T es el conjunto de todos los vectores v en R3 tales que Av = 0. El recorrido de T es el conjunto de todos los vectores w en R3 tales que w = T(v) para algún vector v en R3.

Para encontrar el núcleo, podemos usar el método de Gauss-Jordan para resolver el sistema de ecuaciones Av = 0. El sistema de ecuaciones es:

[-1 0 1]
[1 1 0]
[1 2 1]

Resolviendo el sistema usando el método de Gauss-Jordan, obtenemos v = (0,1,-1). Por lo tanto, el núcleo es el subespacio generado por el vector (0,1,-1).

Para encontrar el recorrido, podemos usar la matriz A para multiplicar cualquier vector en R3. Por lo tanto, el recorrido es todo R3.

La intersección del núcleo y el recorrido es el conjunto vacío. Esto se debe a que el núcleo contiene solo el vector (0,1,-1), mientras que el recorrido contiene todos los vectores en R3. Por lo tanto, no hay ningún vector que esté en ambos el núcleo y el recorrido.

La interpretación geométrica del núcleo es un plano que pasa por el origen y tiene una pendiente de -1. La interpretación geométrica del recorrido es todo el espacio R3. La interpretación geométrica de la intersección del núcleo y el recorrido es el conjunto vacío.