Ejercicio 1: a) Justificar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: i. Toda función f(x) definida en un intervalo alcanza en él un máx...

a)

i. Verdad. El teorema del valor extremo establece que toda función continua definida en un intervalo cerrado alcanza un máximo absoluto y un mínimo absoluto en ese intervalo. Esto se debe a que la función está acotada por su máximo absoluto y su mínimo absoluto, y no puede cambiar de dirección infinitamente muchas veces.

ii. Falso. La recta tangente a una función en un punto solo puede ser paralela a una recta de la forma y=mx+b si la derivada de la función en ese punto es igual a m. En este caso, la derivada de la función en x=2 es 6, pero la pendiente de la recta y=3x-1 es 3. Por lo tanto, las rectas no son paralelas.

b)

El teorema de Rolle establece que si f(x) es una función continua en [a,b] y derivable en (a,b), entonces existe al menos un punto c en (a,b) tal que f'(c)=0.

Si f(x) es derivable en x=a, entonces es continua en x=a. Esto se debe a que la derivada de una función es una medida de la pendiente de la función, y la pendiente de una función es una medida de su cambio. Si la función es derivable en x=a, entonces su pendiente no cambia abruptamente en ese punto. Esto significa que la función debe ser continua en x=a.