Ejercicio 2: Dada la función: a) Analizar si posee asíntotas y, en caso afirmativo, dar sus ecuaciones. (8 puntos) b) Calcular e indicar los interv...

Claro, aquí están los pasos para analizar si la función f(x)=x2

−1

x2

+1

​ posee asíntotas, calcular e indicar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y graficar la función a partir de los cálculos realizados:

1. Analizar si la función posee asíntotas.

La función f(x)=x2

−1

x2

+1

​ tiene asíntotas verticales en los puntos x=1 y x=−1. Esto se debe a que el denominador de la función se anula en estos puntos.

La función f(x)=x2

−1

x2

+1

​ también tiene asíntotas horizontales en los ejes x y y. Esto se debe a que el numerador y el denominador de la función se aproximan a 1 cuando x se aproxima a ±∞.

1. Calcular e indicar los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

La función f(x)=x2

−1

x2

+1

​ crece en los intervalos (−∞,−1) y (1,∞). Esto se debe a que la derivada de la función, f′

(x)=x2

−1

2x

​, es positiva en estos intervalos.

La función f(x)=x2

−1

x2

+1

​ decrece en el intervalo (−1,1). Esto se debe a que la derivada de la función es negativa en este intervalo.

1. Graficar la función.

La gráfica de la función f(x)=x2

−1

x2

+1

​ es la siguiente:

[Imagen de la gráfica de la función]

Como se puede ver, la función tiene asíntotas verticales en los puntos x=1 y x=−1, y asíntotas horizontales en los ejes x y y. La función crece en los intervalos (−∞,−1) y (1,∞), y decrece en el intervalo (−1,1).