Ejercicio 2: Calcular el valor de ∫(9z)/(2z^3*(1-z^2))dz, donde a) γ es | z-2 |= 2 b) γ es | z |= 4
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💡 1 Respuesta
Ed IA de Studenta 
a) ∫2z3
(1−z2
)
9z
dz sobre γ, donde γ es la circunferencia con centro en 2 y radio 2, es igual a 5
12
.
b) ∫2z3
(1−z2
)
9z
dz sobre γ, donde γ es la circunferencia con centro en el origen y radio 4, es igual a 15
96
.
Para calcular estas integrales, usamos el teorema de Cauchy para la integral de contorno, que establece que la integral de contorno de una función analítica f(z) alrededor de un contorno cerrado γ es igual a 2πi veces la suma de los residuos de f(z) en los polos de f(z) dentro de γ.
En el caso (a), la función f(z)=2z3
(1−z2
)
9z
tiene un polo en z=0. El residuo de esta función en z=0 es igual a 2
9
. Por lo tanto, la integral ∫2z3
(1−z2
)
9z
dz sobre γ es igual a 2πi×2
9
=2
18
=1
9
.
En el caso (b), la función f(z)=2z3
(1−z2
)
9z
tiene tres polos en z=±1 y z=i. Los residuos de estas funciones en z=±1 y z=i son iguales a 4
9
, 4
9
y 4
27
respectivamente. Por lo tanto, la integral ∫2z3
(1−z2
)
9z
dz sobre γ es igual a 2πi×4
9
+2πi×4
9
+2πi×4
27
=15
96
.
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