Ejercicio 7: Mostrar, usando el teorema de los residuos que se verifican los siguientes resultados de las integrales reales: a) ∫(4x*(1-x))/(x*(x-2...
a) ∫(4x*(1-x))/(x*(x-2)^2)dx
b) ∫(2x*(1-x))/(x*(x-2)^2)dx
c) ∫(e^(2x))/(x^3*cos(x) - 1)dx
d) ∫(4x)/(ax*sin(x) + a)dx, where a > π/4
e) ∫(4x)/(x^2*cos(x) + e^2)dx
Preguntas Generales
Esta pregunta también está en el material:
💡 1 Respuesta
Ed IA de Studenta 
a) ∫x(x−2)2
4x(1−x)
dx=3
4
log(x−2)+3
2
logx+C, donde C es una constante arbitraria.
b) ∫x(x−2)2
2x(1−x)
dx=3
2
log(x−2)+3
1
logx+C.
c) ∫x3
cos(x)−1
e2x
dx=2
e2x
(x
arctan(xtan(x/2))
+2
1
log(1+x2
tan2
(x/2)))+C.
d) ∫axsin(x)+a
4x
dx=a
4
(2
π
−arctan(a
1−cosx
))+C, donde a>π/4.
e) ∫x2
cos(x)+e2
4x
dx=e
2
(2
π
−arctan(e
1−cosx
))+C.
Para calcular estas integrales, usamos el teorema de los residuos, que establece que la integral de una función analítica f(z) alrededor de un contorno cerrado γ es igual a 2πi veces la suma de los residuos de f(z) en los polos de f(z) dentro de γ.
En los casos (a) y (b), las funciones f(z)=x(x−2)2
4x(1−x)
y f(z)=x(x−2)2
2x(1−x)
tienen polos en z=0 y z=2. Los residuos de estas funciones en z=0 y z=2 son iguales a 4/3 y 2/3 respectivamente. Por lo tanto, las integrales ∫x(x−2)2
4x(1−x)
dx y ∫x(x−2)2
2x(1−x)
dx son iguales a 4/3logx+2/3log(x−2)+C y 2/3logx+1/3log(x−2)+C respectivamente.
En el caso (c), la función f(z)=x3
cos(x)−1
e2x
tiene polos en z=0, z=±iπ/2 y z=±iπ. Los residuos de estas funciones en z=0, z=±iπ/2 y z=±iπ son iguales a ±iπ/2, ±iπ/4 y ±iπ/4 respectivamente. Por lo tanto, la integral ∫x3
cos(x)−1
e2x
dx es igual a 2
e2x
(x
arctan(xtan(x/2))
+2
1
log(1+x2
tan2
(x/2)))+C.
En el caso (d), la función f(z)=axsin(x)+a
4x
tiene polos en z=0, z=±π/2 y z=±π. Los residuos de estas funciones en z=0, z=±π/2 y z=±π son iguales a $\pm \pi
✏️ Responder
Para escribir su respuesta aquí, Ingresar o Crear una cuenta
Otros materiales
Compartir